희소 그래프에서 5주기를 효율적으로 찾기.

(MathOverflow에서 크로스 포스트)

안녕,

나는이 스레드를 읽고 있었다 : /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

그래프에서 5주기를 찾고 싶습니다. 실제로, 내가 정말로 원하는 것은 적어도 5의 길이의 가장 짧은 홀수 사이클이지만, 아마도 그 지점 옆에 약간 있습니다. 내 목적을 위해 복잡성 분석에서 과 을 동일하게 취급 합니다. $m$ $n$

이 경우 5주기를 찾기 위해 색상 코딩보다 더 잘 할 수 있습니까? 내 질문에 대한 구체적인 공식을 제시하겠습니다.

최소 란 이 생길되도록 길이 (5)의주기를 검출하기위한 알고리즘은 - 시간? 알고리즘은 무엇입니까? Coppersmith-Winograd 빠른 매트릭스 곱셈과 같은 비실용적 인 방법을 금지한다면 이 는 무엇 입니까? $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— 앤드류 디 킹
소스

미주리의 크로스 포스트 .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

그래프에 희소 한 것 외에 특별한 구조가 있습니까? (예를 들어 낮은 퇴화 등.)

— 로빈 Kothari의

아니요, 원하는만큼 그래프를 악마처럼 만들 수 있습니다. 실제로 그래프가 드문 경우에도 신경 쓰지 않습니다. 선 그래프 및 와 같은 기본 그래프 고려하고 있습니다 ( 는 단순 하다고 가정 할 수 있음 ). 내가 치료하는 이유및내가 알고있는 것과 같다 관점에서 복잡성을 분석하고 싶습니다. 및하지만 어떻게 비교 .

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— 앤드류 D. 킹

분명히하기 위해 사이클에 반복 정점이 포함되어 있는지 상관하지 않습니다.

— user834

반복 정점을 허용하지 않지만 5 사이클의 경우 그래프가 단순하고 2 사이클이 없다고 가정하기 때문에 중요하지 않습니다.

— Andrew D. King

답변:

Mihai의 답변에 추가하려면 다음을 수행하십시오.

실제로, 희소 그래프의 5 사이클 (및 일반적으로 사이클) 은 고 / 저도 트릭을 사용하여 시간 보다 훨씬 빠르게 해결할 수 있습니다 . Alon, Yuster 및 Zwick의 다른 논문 만 살펴보십시오. $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

$O(m^{1.67})$

또한, 5 사이클 검출을 불리언 매트릭스 곱셈 (상수 인자 오버 헤드로)으로 감소시키는 것은 어렵지 않지만, 반대 방향의 감소는 컬러 코딩 용지에 나타나지 않는다. 불리언 매트릭스 곱셈에서 5 사이클 검출까지의 긴축 (런타임 복잡성을 유지)은 알려져 있지 않습니다.

— 라이언 윌리엄스
소스

고밀도 경우는 기본적으로 컬러 코딩에 의한 부울 매트릭스 곱셈과 같습니다. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf를 참조 하십시오 .

$O(mn)$

— 미하이
소스

고맙습니다! 액세스 할 수있을 때 Monien 용지를 살펴 보겠습니다.

— 앤드류 D. 킹