유한 한 원을 둘러싸고있는 가장 작은 원을 계산하지 않는 방법

우리는 유한 집합이 있다고 가정 $L$ 의 디스크 $\mathbb{R}^2$ , 우리는 가장 작은 디스크 계산하고자하는 $D$ 에 대한 $\bigcup L\subseteq D$ . 이렇게하는 표준 방법은 기저 찾을 Matoušek, Sharir 및 Welzl [1]의 알고리즘을 사용하는 $B$ 의 $L$ 하고하게 $D=\langle B\rangle$ , 작은 디스크 함유 $\bigcup B$ . 디스크 $\langle B\rangle$ 때문에, 사실하여 수학적 계산 될 수 $B$ 기준 인, 각 디스크 $B$ 에 접하는 $\langle B\rangle$.

( $B\subseteq L$ A는 기준 의 $L$ 만약 $B$ 최소가되도록 $\langle B\rangle=\langle L\rangle$ 기준 많아야 세 요소를 가진다.에서 공에 대한 일반적인 $\mathbb{R}^d$ 기준이 최대 갖는 $d+1$ . 요소)

다음과 같이 무작위 재귀 알고리즘입니다. (그러나 이해하기 쉬운 반복 버전은 아래를 참조하십시오.)

절차 : $MSW(L, B)$
입력 : 유한 디스크 세트 $L$ , $B$ 여기서 $B$ 는 ( $B$ ) 기준 입니다.

1. 만일 $L=\varnothing$ , 리턴 $B$ .
2. 그렇지 않으면 무작위로 $X\in L$ 을 선택하십시오 .
3. 하자 $B'\leftarrow MSW(L-\{X\}, B)$ .
4. 경우 $X\subseteq\langle B'\rangle$ 후 반환 $B'$ .
5. 그렇지 않으면 리턴하십시오 . 여기서 B ″ 는 B ′ ∪ { X } 의 기초입니다 .$MSW(L, B'')$$B''$$B'\cup\{X\}$

쓰임 에 기초하여 계산하기 위해 L이 .$MSW(L, \varnothing)$$L$

최근 에이 알고리즘을 구현해야했습니다. 무작위로 생성 된 수백만 개의 테스트 사례에서 결과가 올바른지 확인한 후 구현에 오류가 있음을 알았습니다. 마지막 단계에서 I는 반환 된 보다 M S W ( L , B를 " ) .$MSW(L-\{X\}, B'')$$MSW(L, B'')$

이 오류에도 불구하고 알고리즘은 정답을 제공했습니다.

추가 : 몇 가지 오해

몇몇 사람들은 수정 된 알고리즘이 사소하게 정확하다는 효과에 대한 잘못된 주장을 제안 했으므로 여기에서 약간의 오해를 포괄하는 것이 유용 할 수 있습니다. 하나의 인기있는 잘못된 믿음은 것으로 보인다 . 그 주장에 대한 반례가 있습니다. 디스크를 감안 , B , C , D , E (경계를 아래와 같이 ⟨ , B는 , 예를 ⟩ 빨강에 도시되어있다) :$B\subseteq\langle MSW(L, B)\rangle$$a,b,c,d,e$$\langle a,b,e\rangle$

우리는 ; 및 참고 예 ∉ ⟨ C , D ⟩ :$MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})=\{c,d\}$$e\notin\langle c,d\rangle$

어떻게 이런 일이 일어날 수 있습니다. 첫 번째 관찰은 .$MSW(\{c\},\{a,b,e\})=\{b,c\}$

• 우리는 M S W ( { c } , { a , b , e } ) 를 계산하려고합니다$MSW(\{c\},\{a,b,e\})$
• X = c를 선택하십시오$X = c$
• 하자 $B' = MSW(\varnothing, \{a,b,e\}) = \{a,b,e\}$
• 그 관찰 $X\notin\langle B'\rangle$
• 따라서 를 B ′ ∪ { X } = { a , b , c , e } 의 기초로 두십시오.$B''$$B'\cup\{X\} = \{a,b,c,e\}$
• 관찰 $B''=\{b,c\}$
• 리턴 이며, { B , C $MSW(\{c\}, \{b,c\})$$\{b,c\}$

이제 .$MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})$

• 우리는 M S W ( { c , d } , { a , b , e } ) 를 계산하려고합니다$MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})$
• X = d를 선택하십시오$X=d$
• 하자 $B' = MSW(\{c\}, \{a,b,e\}) = \{b,c\}$
• 그 관찰 $X\notin\langle B'\rangle$
• 따라서 를 B ′ ∪ { X } = { b , c , d } 의 기초로 두십시오.$B''$$B'\cup\{X\} = \{b,c,d\}$
• 관찰 $B''=\{c,d\}$
• 리턴 이며, { C , D $MSW(\{c,d\}, \{c,d\})$$\{c,d\}$

(명확성을 위해, 우리는 디스크라고하자 , B는 , (C)는 , (D)는 , 전자 반경 2가 모두와 중심된다 ( 30 , 5 ) , ( 30 , 35 ) , ( 10 , 5 ) , ( 60 , 26 ) 및 ( 5 , 26 ) 각각.)$a,b,c,d,e$$(30,5)$$(30,35)$$(10, 5)$$(60, 26)$$(5, 26)$

추가 : 반복 프리젠 테이션

알고리즘의 반복 표현에 대해 생각하는 것이 더 쉬울 수 있습니다. 분명히 그 행동을 시각화하는 것이 더 쉽다는 것을 알았습니다.

입력 : 디스크 목록 출력 : L 기준$L$
$L$

1. 보자 .$B\leftarrow\varnothing$
2. 셔플 무작위로.$L$
3. L의 각 에 대해 :$X$$L$
4.   만약 :$X\notin\langle B\rangle$
5.     하자 의 기초가 될 B ∪ { X } .$B$$B\cup\{X\}$
6.     2 단계로 돌아가십시오.
7. 반환 합니다.$B$

그 이유는이 알고리즘이 종료하면, 또한, 항상 반경이 증가 단계 5 - 그리고 단지 유한 한 다수의 가능한 값이있는 B는 .$\langle B\rangle$$B$

수정 된 버전에는 내가 볼 수있는 한 간단한 반복 표현이 없습니다. (이 게시물의 이전 편집에서 하나를 제공하려고 시도했지만 잘못되어 잘못된 결과가 발생했습니다.)

참고

[1] Jiří Matoušek, Micha Sharir 및 Emo Welzl. 선형 프로그래밍을위한 부분 지수입니다. Algorithmica, 16 (4-5) : 498–516, 1996.

재귀를 계속하기 전에 L 에서 를 제거하는이 단계는 기본 후보 풀에서 이미 추가 된 X 를 제거하기 때문에 실제로 알고리즘을 개선합니다 . 기존 알고리즘과 동일하기 때문에 항상 작동 할 가능성이 높으며 더 높은 차원에서도 작동합니다.$X$$L$$X$

알고리즘을 추적하십시오. 사용할 때 ,가 X ∈ L 및 X ∈ B ' ' . 2 단계에서 다시 선택했다고 가정합니다. 3 단계의 결과에 관계없이 재귀 함수에는 불변 값 B ⊆ M S W ( L , B ) 가 있기 때문에 B ' 는 항상 X를 갖습니다 .$MSW(L,B^{\prime\prime})$$X \in L$$X \in B^{\prime\prime}$$B^\prime$$X$$B \subseteq MSW(L,B)$

다시 말해, 가 선택된 부분에서 3 단계의 알고리즘 바로 가기가 개선 되었습니다.$X$