무결성 갭의 중요성

나는 항상 Integrity Gap (IG) 의 중요성을 이해하는 데 어려움을 겪고 있었으며 그 한계가 있습니다. IG는 문제의 완화에 대한 최적의 실제 해에 대한 최적 정수 응답의 품질 (품질)입니다. 버텍스 커버 (VC)를 예로 들어 보겠습니다. VC는 다음 선형 방정식 세트의 최적 정수 솔루션을 찾는 것으로 설명 할 수 있습니다.

그래프 G 의 각 정점 v ∈ V ( G ) 에 대해 0/1 값의 변수 $x_v$ s가 있습니다. 방정식은 : 0 ≤ X V ≤ 1 개 V ∈ V ( G ) , 및 1 ≤ X V + X U 각 에지 유 v에 ∈ E ( G를 ) . 우리는 ∑ v ∈ V ( G )를 최소화 할 값을 찾고 있습니다$v \in V(G)$$G$$0 \leq x_v \leq 1$$v\in V(G)$$1 \leq x_v+x_u$$uv \in E(G)$$\sum_{v \in V(G)} x_v$ .

이 문제가 완화되면 $0$ 과 사이의 실제 값이 허용 $1$되므로 솔루션의 공간이 넓고 최적의 실제 솔루션은 찾고자하는 최적의 정수 솔루션보다 작을 수 있습니다. 따라서 정수 솔루션을 찾으려면 선형 프로그래밍에서 얻은 최적의 실제 답변에 대해 "반올림"프로세스를 수행해야합니다. 최적 정수 솔루션은 최적 실제 솔루션과 반올림 프로세스 결과 사이에 있습니다. IG는 최적 정수 솔루션 대 실제 실제 솔루션의 비율이며 반올림 프로세스에 대해서는 아무 것도 말하지 않습니다. 반올림 프로세스는 이론적으로 실제 솔루션을 완전히 무시하고 최적의 정수 솔루션을 직접 계산할 수 있습니다.

사람들이 IG에 대한 경계를 증명하는 데 관심이있는 이유는 무엇입니까?

$x$$x$

그렇다면 왜 또 다른 LP 휴식을 취하거나 다른 기술로 전환하여 계속 나아 가지 않겠습니까? 선형 및 볼록한 프로그래밍은 근사 알고리즘의 중심에있는 것으로 입증되었습니다. 많은 문제들에 대해, 천연 LP 또는 SDP 제제의 적분 갭은 근사 비율의 경도뿐만 아니라 최상의 알고리즘의 근사 비율과 동일하다. 이것은 실증적 관찰이지만, 적분 갭을 입증하면 개선 된 알고리즘 또는 하한의 결과가 훨씬 더 강할 수 있음을 의미합니다.

이 현상에는 더 깊고 엄격한 이유가있을 수 있습니다. 예를 들어, 독특한 게임 추측을 가정 할 때, 제약 만족 문제에 대한 근사 비율과 불확실성 비율은 단순한 SDP 완화의 적분 갭과 동일하다는 것이 알려져 있습니다 ( Prassad Raghavendra의 모든 CSP에 대한 최적 알고리즘 및 불확실성 결과 참조 )

$P \neq NP$

$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

$I$$I$

적분 갭은 IP의 근사치에 대한 유용한 지표입니다. 비공식적이고 직관적 인 방식으로 생각하는 것이 좋습니다. 높은 무결성 차이는 특정 방법이 작동하지 않음을 의미합니다. 예를 들어 특정 원시 / 이중 방법은 작은 적분 간격에 의존합니다. 표준 초기 버텍스 커버 LP의 경우 듀얼 LP는 최대 일치를 요구합니다. 이 경우 다음을 수행 할 수 있습니다.

• 이중 LP에 대한 최적의 분수 솔루션 을 찾으십시오 (최대 분수 매칭)$\boldsymbol{y}$
• 솔루션 에 2의 인수를 곱하십시오 (모든 모서리 가중치의 두 배)$\boldsymbol{y}$
• 이것을 원초 LP에 대해 실행 가능한 적분 변환합니다 (각 모서리는 벡터에서 벡터의 각 끝점 까지 가중치의 절반을 제공합니다 . 그러면 각 는 로 대체되었습니다 .$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

이 경우이 간단한 전략이 효과가 있으며 이중 LP에 대한 실현 가능한 솔루션의 무게의 두 배를 넘지 않는 원시 LP에 대한 가능한 통합 솔루션으로 끝납니다. 이중 LP에 대한 가능한 솔루션의 가중치는 OPT의 하한값이므로 2 근사 알고리즘입니다.

이제 완전성 격차는 어디에서 발생합니까? 이 경우 IG는 2이지만 그 자체만으로도 알고리즘이 작동한다는 것을 의미하지는 않습니다. 오히려 작동 할 수 있다고 제안합니다. 그리고 IG가 2보다 많으면 간단한 전략이 항상 효과 가있는 것은 아닙니다. 최소한 듀얼 솔루션에 IG를 곱해야합니다. 따라서 적분 갭은 때때로 작동 하지 않는 것을 알려줍니다 . 적분 갭은 또한 우리가 기대할 수있는 근사 계수의 종류를 나타낼 수 있습니다. 작은 무결성 차이는 반올림 전략 등을 조사하는 것이 가치있는 접근법 일 수 있음을 시사합니다.

더 흥미로운 예를 보려면, Hitting Set 문제와 nets를 사용하여 문제를 근사하는 강력한 기술을 고려하십시오 (Brönnimann & Goodrich, 1995) . 많은 문제는 Hitting Set의 인스턴스로 공식화 될 수 있으며 많은 문제에 대해 성공한 전략은이를 수행하는 것입니다. 그런 다음 좋은 \ net finder, 즉 작은 -nets 를 구성 하고 모든 것을 크랭크 하는 알고리즘을 찾으십시오. B & G 메타 알고리즘. 사람들은 (자신을 포함) 모든 내용은 해당 설정을 명중의 제한 인스턴스에 대한 순 측정기를 찾으려고 그래서 , 구축 할 수 있습니다 -net 크기의 , 함수$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$가능한 한 작아야합니다. 데 일반적인 목표이다; 이것은 근사값을줍니다.$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

밝혀진 바와 같이, 최상의 기능 는 Hitting Set에 대한 특정 LP의 적분 갭에 의해 제한됩니다 (Even, Rawitz, Shahar, 2005) . 특히 최적의 적분 및 분수 솔루션은 충족 합니다. 타격 세트의 무제한 인스턴스의 경우 적분 간격은 이지만 다른 문제를 타격 세트로 공식화하면 IG가 더 낮아질 수 있습니다. 에서 이 예제 저자 발견하는 방법을 보여 크기의 -nets$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$축 평행 박스를 칠 때 발생하는 문제에 해당하는 제한 세트의 Hitting Set 이런 식으로 그들은 그 문제에 대해 가장 잘 알려진 근사 계수를 향상시킵니다. 이것이 향상 될 수 있는지 여부는 공개적인 문제입니다. 이러한 제한된 Hitting Set 인스턴스의 경우 Hitting Set LP의 IG가 인 경우 크기가 -nets를 보장하는 net finder를 디자인 할 수 없습니다 , 이렇게하면 크기의 적중 세트를 보장하는 알고리즘이 있음을 의미 하지만 이후$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$이것은 더 작은 무결성 차이를 의미합니다. 따라서 무결성 차이가 크면 사람들이 좋은 순 찾기를 찾는 데 시간을 낭비하지 못하게 할 수 있습니다.

일부 NP-hard 최대화 문제에 대한 근사 알고리즘을 생각해 낼 때 고려해야 할 몇 가지 값이 있습니다. 문제의 최적 값인 OPT가 있습니다. 최적 OPT (IP)와 같습니다. 문제의 올바른 IP 공식화의 가치. IP의 선형 완화의 최적 값인 OPT (LP)도 있습니다.

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

마지막으로 LP 솔루션을 반올림하여 얻는 솔루션의 가치 인 V가 있습니다. 가 알고리즘이 근사 임을 보여주기 위해 증명할 수 는 있지만 직접적으로 수행 할 수는 없습니다. 솔루션 공간을 유지하십시오. 대신, 거의 항상 입증 된 것은 입니다. 이것은 물론 을 의미하지만 더 강력합니다. 특히, IP 공식의 무결성 차이가 보다 큰 경우 , 반올림 절차가 통합 솔루션으로 끝나기 때문에 위의 설명은 일반적으로 거짓입니다.$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

따라서 핵심은 다음과 같습니다. LP는 "좋은"솔루션을 제공하며 "거의 좋은"것으로 반올림하려고합니다. 적분 갭이 크면 일반적으로 불가능합니다. LP 솔루션만큼 "가장 좋은"적분 솔루션을 보장 할 수있는 절차가 없기 때문입니다. 때로는 존재하지 않기 때문입니다!

완화의 적분 갭은 반올림 알고리즘과 관련이 없다는 점에서 옳습니다. 이들은 두 가지 다른 개념입니다. 적분 갭은 특정 이완의 속성입니다. 즉, 최적의 적분 값에 비해 이완 값이 얼마나 큽니까?

우리는 왜 선형 / 볼록한 이완에 관심이 있습니까? 적분 값을 효율적으로 추정합니다. 따라서 최적의 값을 계산하기 어렵고 효율적인 근사치에 관심이있는 경우에만 완화에 대해 이야기합니다. 무결성 차이는 그러한 기술로 달성 할 수있는 것의 본질적인 한계를 보여줍니다.

그렇다면 왜 우리는 이완 위에 알고리즘을 반올림해야합니까? 우리는 반올림 알고리즘을 사용 하여 최적 솔루션 의 가치 를 근사화하는 것이 아니라 거의 최적 솔루션을 찾는 알고리즘 문제를 해결합니다 . 더욱이, 반올림 알고리즘은 처음에는 이완의 적분 갭을 제한하기 위해 사용됩니다.

기술적으로, 적분 갭은 최상의 선형 이완과 최적 솔루션 (모든 IP 공식에 대해 정량화되는 것) 사이의 비율이 아닌 특정 IP 공식에 대한 것입니다.

적분 갭은 사용되는 특정 LP 제형의 한계를 나타 내기 때문에 중요하다. 특정 이완이 의 적분 갭을 가지고 있다는 것을 알고 있다면 보다 더 나은 범위를 증명 하려면 다른 공식을 사용해야 한다는 것도 알고 있습니다.$c$$c$

Steiner 트리 문제에 대한 "양방향 절단 완화"의 완전성 차이가 네트워크 통신에서 "코딩 이점"의 유형과 정확히 일치한다는 것을 보여주는 매우 흥미로운 논문 인 "네트워크 처리량을 개선하기위한 네트워크 코딩의 장점"이있었습니다. 나는 다른 비슷한 논문을 많이 모른다. 그러나 Steiner tree 문제에 대한 LP 완화가 더 나은 것으로 알려져 있습니다 (예를 들어 STOC 2010의 Byrka 등의 새로운 하이퍼 그래픽 LP 기반 근사 알고리즘 참조). LP).

대부분의 답변은 이미 적분 갭에 관심을 가져야하는 주된 이유, 즉 완화에 의해 제공된 경계를 사용하는 것에 기초한 근사 알고리즘이 적분 갭보다 더 나은 비율을 증명할 수는 없다는 것을 이미 언급했습니다. 적분 갭이 유용한 가이드 인 두 가지 다른 메타 이유를 설명하겠습니다. 광범위한 조합 최적화 문제의 경우 분리와 최적화의 동등성은 정확한 알고리즘이 문제에 대한 가능한 솔루션의 볼록 껍질과 밀접하게 관련되어 있음을 보여줍니다. 따라서 기하학적 관점과 알고리즘 관점은 매우 밀접하게 연결되어 있습니다. 비슷한 형식적 동등성은 근사 알고리즘에 대해서는 알려져 있지 않지만 유용한 가이드입니다. 알고리즘은 기하학적 이완과 함께 사용됩니다. 사람들이 개선해야 할 구체적인 목표가있을 때 알고리즘 혁신이 이루어집니다.