이 게임의 복잡성은 무엇입니까?

이것은 내 이전 질문 의 일반화입니다 .

은 일부 오라클 에게 질문을 할 수있는 다항식 결정 론적 기계라고 하자 . 초기에 는 비어 있지만 아래에 설명 할 게임 후에 변경할 수 있습니다. 문자열로 하자 . $M$ $A$ $A$ $x$

다음의 Alice and Bob 게임을 고려하십시오. 초기에 Alice와 Bob은 각각 $m_A$ 와 $m_B$ 달러를 가지고 있습니다. Alice는 $M^A(x)=1$ 을 원하고 Bob은 $M^A(x)=0$ 원합니다 .

게임의 모든 단계에서 플레이어는 문자열 $y$ 를 $A$ 추가 할 수 있습니다 . 여기에는 $f(y)$ 달러의 비용이 듭니다 . 여기서 $f: \{0,1\}^* \to \mathbb{N}$ 은 다항식 시간 계산 함수입니다. 또한 플레이어는 자신의 발걸음을 놓칠 수 있습니다.

두 선수가 모두 돈을 소비하거나 잃어버린 위치에있을 때 어떤 선수가 단계를 놓치면 (현재 값 $M^A(x)$ 정의) 놀이가 끝납니다 .

질문 : 주어진이 게임의 승자를 정의하는 문제이다 $M, f, x, m_A, m_B$ 입니다

EXPSPACE- 완료된 작업?

참고 $M$ (에 속하는를 요청할 수 다항식 길이의 문자열) 그래서 앨리스 또는 밥이 더 긴 문자열을 추가 할 수 아무 의미가 없다 . 따라서이 문제는 EXPSPACE에 있습니다. $A$ $A$

이전 질문에서 $A$ 에 모든 문자열을 추가하려면 1 달러가 필요합니다 (예 : $f \equiv 1$ ). (이것에 의해 도시 된 바와 같이 그런 랜스 포트 노우 )이 게임에 속하는 EXPH 심지어에 PSPACE 경우 $m_A = m_B$ .

cc.complexity-theory complexity-classes gt.game-theory

— 알렉세이 밀로 노프
소스

왜이 문제를 변경했는지 설명 할 수 있습니까? Alice는 다항식 시간으로 모든 문자열 (다른 문제에 대한 Lance의 답변에 정의 된대로)에 대해 지불 할 여유가 있는지 확인할 수 있습니다 . 이렇게해도 문제가 즉시 해결되지 않습니까?

S

$S$

— Stella Biderman

@StellaBiderman Alice는 실제로 다항식 시간으로 이것을 확인할 수 있습니다. 그러나 그녀가 돈이 충분하지 않다고해서 이제는 이전 게임에서와 같이 다항식 단계 만 수행 할 수있는 것은 아닙니다.

— Alexey Milovanov

그녀가 감당할 수 없다면 , 항상 자신의 차례를 건너 뛰는 상대를 이길 수 있습니까? 어쩌면 내가 이해하지 못하는 게임 설정에 관한 것이있을 수 있습니다.

S

$S$

— Stella Biderman

@Stella 네, 다른 수용 경로 일 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 이면 이 중지되고 수락 한다고 가정합니다 . 이 경우 입니다. 그러나 이면 은 쿼리 하고 경우 수락 할 수 있습니다 . 이 경우 Alice에 충분한 spondulix가 있으면 충분합니다 .

x_{1} \in A

$x_1\in A$

M

$M$

S = {x_{1}}

$S=\{x_1\}$

x_{1} \notin A

$x_1\notin A$

M

$M$

x_{2}

$x_2$

x_{2} \in A

$x_2\in A$

x_{2}

$x_2$

— domotorp

EXPSPACE가 완료되어야합니다. EXPSPACE- 완전 문제를이 문제로 줄이지 않고 기하 급수적 인 변경을 달성하는 방법을 스케치 할 것입니다. 그러나 여기서부터는 마무리가 간단해야합니다.

가 반올림 한 후 오라클의 단어를 므로 처음에는 입니다. 에 의해 쿼리 단어 넣어야 에 의해 . 주요 관찰은 로 잃어버린 사람은 에서 무언가를 추가한다고 가정 할 수 있습니다 . 이 게임에서 모든 이동에는 비용이 발생하기 때문에 가능한 한 적게 이동하고 싶습니다. 우리가 이길 때까지 움직이지 않아도됩니다. 그러나 이것은 또한 우리가 잃어 외부에서 아무것도 추가 할 필요가 없다는 것을 의미합니다 . $t$ $A_t$ $A_0=\emptyset$ $M^{A_t}$ $Q_t$ $A_t$ $Q_t$ $A$ $Q_t$

이 정확히 단계 동안 실행하고 및 단계에서 정확히 단어를 쿼리 한다고 가정합니다 . 비용 함수 는 길이가 단어에서 단순히 됩니다 . 게임은 Alice가 항상 홀수 길이의 단어를 추가해야하고 Bob은 항상 길이가 긴 단어를 추가해야합니다 . 이 홀수이고 초기에 Alice가 졌다고 가정합니다 . $M$ $2n$ $2i$ $2i+1$ $i$ $f$ $2^{-i}$ $i$ $A$ $n$

예산 및 는 이 쿼리 한 길이 단어 중 정확히 하나를 선택 하여 추가 할 수 있도록 설정됩니다 . 게임은 이것이 그녀를 승자로 만들 것이므로 Bob은 움직여야합니다. 예산 제약으로 인해 그는 이 쿼리 한 길이 단어 중 정확히 하나를 선택 하여 추가해야 합니다. 이들 중 하나가 추가 된 후 는 두 개의 새로운 길이의 단어 (Bob이 추가 한 단어에 관계없이 동일한 단어)를 쿼리 하고 Bob이 이깁니다. Alice는이 새로운 길이 중 하나를 정확히 추가해야합니다. $m_A$ $m_B$ $n$ $M^{A_0}$ $A$ $n-1$ $M^{A_1}$ $A$ $M^{A_2}$ $n$ $A$ $n$ 단어 그녀의 승리를 확인합니다. $A$

게임은 이런 식으로 진행되는데, 이것은 각 분기 노드에서 플레이어 중 하나 (노드 깊이의 패리티에 의해 결정됨)가 만들어야하지만 깊이 의 완전한 이진 트리의 가지를 따르는 것으로 상상할 수 있습니다. 에 추가 할 단어에 대한 선택 . 그들이 나무를 지나간 후에는 예산이 부족합니다. 게임의 어느 단계에서 그들 중 하나가 더 짧은 단어를 추가하기로 결정하면 (예를 들어, Alice는 에서 길이 단어) $n$ $A$ $k<n$ $Q_0$ 첫 번째 단계에서) 다른 플레이어 (예 : Bob)가 이진 트리에서 항상 가장 긴 단어를 연주하면 마지막에 돈이 남게되어 게임을 사용할 수 있습니다. 이기다. (앨리스도 약간의 돈이 남아있을 수 있지만, 밥은 더 많은 돈을 갖게 될 것입니다. 그래서 우리는 그들 중 하나가 돈이 더 많으면 그 플레이어가 이길 수있는 최종 게임을 디자인합니다.)

이런 식으로 Alice는 기하 급수적으로 많은 짝수 길이의 단어 쌍을 결정하고 Bob은 각 쌍 중 하나가 로가는 기하 급수적으로 많은 짝수 단어를 결정하고 이러한 선택을 번갈아 가며 선택합니다. $A$

— 도모토
소스

답변 주셔서 감사합니다. 이메일로 몇 가지 질문을했습니다.

— Alexey Milovanov