금지 된 미성년자를 찾는 알고리즘이 있습니까?

로버트슨 - 시모어 정리는 말한다 사소한 폐쇄 가족 $\mathcal G$ 그래프는 유한하게 많은 금지 된 미성년자에 의해 특징 지워질 수있다.

입력을위한 알고리즘이 있습니까? $\mathcal G$ 금지 된 미성년자를 출력하거나 결정 불가능합니까?

분명히 대답은 $\mathcal G$ 입력에 설명되어 있습니다. 예를 들어 $\mathcal G$ 에 의해 주어진 $M_\mathcal G$ 멤버십을 결정할 수 있고 $M_\mathcal G$ 아무것도 거부합니다. 만약 $\mathcal G$ 엄청나게 많은 금지 된 미성년자에 의해 제공됩니다-우리가 찾고있는 것입니다. 나는 대답이 궁금하다면 $M_\mathcal G$ 에 중지 보장 $G$ 일정 시간 안에 $|G|$ . 또한 관련 결과에 관심이 있습니다. $\mathcal G$ 다른 인증서와 함께 사소한 것으로 판명되었습니다 (예 : $TFNP$ 또는 잘못된 증거 ).

업데이트 : 내 질문의 첫 번째 버전은 Marzio와 Kimpel의 아이디어에 따라 다음과 같은 구성을 고려하는 것이 매우 쉬운 것으로 나타났습니다. $M_\mathcal G$ 에 그래프를 받아들입니다 $n$ 경우에만 정점 $M$ 멈추지 않는다 $n$ 단계. 이것은 약간 폐쇄되었으며 운영 시간은 $|G|$ .

graph-theory decidability graph-minor

— 도모토
소스

만약

G

$\mathcal G$ 항상 정지하는 TM으로 표시됩니다.

M_{G}

$M_\mathcal G$ , 중지 문제를 줄일 수 있습니다.

M

$M$ 짓다

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ 다음과 같은 경우에만 예를 출력합니다.

M

$M$ 정확히 멈추다

x

$x$ 단계 (

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$ 표준 그래프 열거입니다).

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ 최대 하나의 금지 된 미성년자를 허용하므로

G

$\mathcal G$ 미성년자 폐쇄 가족; 따라서 문제는 결정할 수 없습니다.

— Marzio De Biasi

@ThomasKlimpel : Ops, 나는 그 질문을 오해했다. 아마도 수정 사항은 다음과 같습니다.

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ 첫 번째를 검색

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$ 그런

M

$M$ 정확히 멈추다

i

$i$ 다음 단계는 수락

G_{i}

$G_i$ 미성년자가 아니다

G_{x}

$G_x$ ; 그렇지 않으면 거절하십시오.

— Marzio De Biasi

@Marzio 그렇습니다.

M_{G}

$M_\mathcal G$ 에 그래프를 받아들입니다

n

$n$ 경우에만 정점

M

$M$ 멈추지 않는다

n

$n$ 단계. 이것은 약간 폐쇄되었으며 운영 시간은

| G |

$|G|$ .

— domotorp

글쎄요.

M

$M$ 중단하다

2

$2$ 단계, 우리는 또한 정지에 말한다

3

$3$ 단계.

— domotorp

@domotorp 당신의 건축이 (잘못되지 않은 경우), 그리고 당신의 질문 중 하나에 대답하기 때문에 (그리고 Marzio De Biasi와 나는 성공하지 않고 그러한 단순한 건축을 시도한 이후), 나는 당신이 당신의 건축을 정답. 자신의 질문에 대답하기가 불편한 경우 커뮤니티 위키로 만들 수 있습니다. 또는 질문을 편집하고 답변을 추가 할 수 있습니다.

— Thomas Klimpel

비슷한 질문에 대한 Mamadou Moustapha Kanté (Bruno Courcelle의 감독하에 박사 학위를 받았다)의 대답 은 B. Courcelle, R. Downey의 Monaorary Second Order Ideals (1997)에 대한 소소한 방해물 집합의 계산성에 대한 참고 M. 계산 불가능한 결과 ( MSOL- 정의 가능한 그래프 클래스, 즉 Monadic 2 차 공식으로 정의 된 클래스의 경우)와 B에 의해 문맥이없는 문법 (1998)에 의해 정의 된 사소한 폐쇄 그래프 세트의 방해에 대한 동료 계산 결과에 대한 Courcelle 및 G. Sénizergues ( HR 정의 그래프 클래스, 즉 Hyperedge Replacement 문법으로 정의 된 클래스).

계산 가능한 경우와 계산 불가능한 경우의 중요한 차이점은 (사소한) HR 정의 가능 그래프 클래스는 트리 폭에 제한이 있고 (사소한) MSOL 정의 가능 그래프 클래스는 트리 폭에 제한이 필요하지 않다는 것입니다. 실제로, (마이크로 클로즈드) MSOL 정의 가능 그래프 클래스가 트리 폭을 제한 한 경우 HR 정의도 가능합니다.

treewidth는 계산할 수없는 경우와 계산 가능한 것을 분리하는 데 실제로 중요한 부분 인 것 같습니다. 또 다른 알려진 결과 (M. Fellows 및 Mby.􏰊 Langston)는 기본적으로 제외 된 마이너의 유한 세트의 최대 트리 폭 (또는 경로 너비)에 대한 경계가 알려진 경우 제외 된 마이너의 (finite) 최소 세트가된다고 기본적으로 말합니다. 계산할 수 있는.

정보가없는 경우, 각각의 유한 한 배제 된 마이너 세트에 의해 주어진 두 개의 마이너 클로즈드 그래프 클래스의 조합 (사소한 마이너 클로즈드)에 대한 (마이너스) 최소 배제 된 마이너 세트가 계산 될 수 있는지 여부조차 알 수 없습니다. treewidth (또는 pathwidth)에 대해 사용할 수 있습니다. 또는 아마도 일반적으로 계산할 수 없다는 것이 입증되었을 수도 있습니다.

— 토마스 클림 펠
소스

이 마지막 부분은 꽤 흥미 롭습니다. 잘 이해하면 다음을 의미합니다. 그래프 패밀리

G

$\mathcal G$ 으로 표시

m (G)

$m(\mathcal G)$ 가장 큰 금지 된 최소 부의 크기 허락하다

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$ . 그런 다음 대한 알려진 재귀 상한이 없습니다 . 이 매우 빠르게 성장 한다는 것을 보여주는 몇 가지 예를 알고 있습니까?

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— domotorp

@domotorp 동의합니다. 좋은 지적입니다. 이러한 예제에 대한 아이디어가 있지만 기본적으로 "그리드"차원으로 재생하려고하는 모든 예제의 성장률이 ELEMENTARY 내에 유지 될 것이라는 인상을 받았습니다. 그러나 그 질문에 시간을 투자하고 싶다면 먼저 2000-2018 년에 일어난 일에 대한 문학 연구를해야한다고 생각합니다. 아는 내가 아는 논문을 인용하는 논문을 보거나 아마도 나중에 그 질문에 대한 저자의 간행물.

— Thomas Klimpel

알 겠어-글쎄, 나는 대답을 알고 싶어하지 않고 그냥 놀랐고 궁금해했다.

— domotorp

@domotorp 노조에 대해 배제 된 미성년자의 최소 세트는 2008 년에 계산 가능한 것으로 나타났습니다 : logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Publications/…

— Thomas Klimpel