프로토콜 파티션 번호 및 결정적인 통신 복잡성

게다가 (결정적) 통신 복잡도 의 관계에서의 R , 필요한 통신의 양에 대한 또 다른 측정은 염기성 인 프로토콜 파티션 번호 P는 P ( R ) . 이 두 측정 값 사이의 관계는 상수 요소까지 알려져 있습니다. Kushilevitz와 Nisan의 논문 (1997)은$cc(R)$$R$ $pp(R)$

두 번째 부등식과 관련하여 log 2 ( p p ( R ) ) = c c ( R ) 과의 관계 (무한한 계열)을 쉽게 표현할 수 있습니다.$R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

첫 번째 불평등과 관련하여 Doerr (1999)는 첫 번째 경계에서 인수 를 c = 2.223으로 대체 할 수 있음을 보여주었습니다 . 첫 번째 한계는 얼마나 개선 될 수 있습니까? $c=3$$c=2.223$

설명 복잡성의 추가 동기 부여 : 상수 을 개선하면 유한 언어를 설명하는 주어진 DFA와 동등한 정규 표현식의 최소 크기에 대한 하한이 향상됩니다 (Gruber and Johannsen (2008) 참조). $2.223$

바로이 질문에 관련되지는 않지만, Kushilevitz, Linial 및 (1999) Ostrovsky는 관계가 준 과 C C ( R ) / ( 2 - O ( 1 ) ) ≥ 로그 2 ( r에 P ( R ) ) , r에 P를 ( R ) 는 사각형 파티션 번호 입니다.$R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

편집 : 위의 질문은 부울 회로 복잡성에서 다음 질문과 동일합니다. 리프 크기 L의 모든 부울 DeMorgan 공식을 최대 c log 2 L 에서 동등한 깊이 공식으로 변환 할 수 있도록 최적 상수 는 무엇입니까 ?$c$$c \log_2L$

참고 문헌 :

• Kushilevitz, Eyal; Nisan, Noam : 커뮤니케이션 복잡성. 케임브리지 대학 출판부, 1997.
• Kushilevitz, Eyal; Linial, 나단; Ostrovsky, Rafail : 의사 소통 복잡성의 선형 배열 추측은 거짓, Combinatorica 19 (2) : 241-254, 1999입니다.
• Doerr, Benjamin : 커뮤니케이션 복잡성 및 프로토콜 파티션 번호, 기술 보고서 ​​99-28, Berichtsreihe des Mathematischen Seminars der Universität Kiel, 1999.
• Gruber, Hermann; Johannsen, Jan : 의사 소통 복잡도를 사용한 정규 표현식 크기에 대한 최적의 하한. 에서 : 소프트웨어 과학 및 계산 구조의 기초 2008 (FoSSaCS 2008), LNCS 4962, 273-286. 봄 병아리.

자, 두 개가 충분하다는 것을 증명하려고 노력하겠습니다. 즉 . 죄송하지만 때로는 번호가 1보다 작을 때마다 잎 수 / pp (R) 대신 잎을 씁니다. 또한 비 텍스 드 가독성을 높이기 위해 일반적으로 ≤ 대신 <를 씁니다 .$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

간접적으로 이것이 사실이 아닌 R이 있다고 가정하고 부등식을 위반하는 가능한 가장 작은 pp (R)로 R을 취합시다. 기본적으로 2 비트를 사용하면 프로토콜 트리의 4 가지 결과 모두에서 리프 수를 절반으로 줄일 수 있으며 유도를 사용하여 수행됩니다.

$\times$$\times$$\times$$\times$

이제 우리는 L + R1 / 2, L, R1 / 2임을 알고 있으며 일반성을 잃지 않으면 서 L이 최대 R이라고 가정 할 수 있습니다. 또한 D = A + B + C <1/2도 알고 있습니다. 2L + A + B <1이 뒤 따르는데, 여기서 L + A <1/2 또는 L + B <1/2가 우리의 두 경우가된다는 것을 알 수 있습니다.

Case L + A <1/2 : First Bob은 입력이 Y0에 속하는지 여부를 알려줍니다. 그렇지 않은 경우 최대 D <1/2 개의 잎이 남습니다. 그렇다면 Alice는 입력 내용이 XR에 속하는지 여부를 알려줍니다. 그렇지 않다면, 우리는 L + A <1/2 잎이 남습니다. 만약 그렇다면, R <1/2은 남는다.

Case L + B <1/2 : 먼저 Alice는 입력 내용이 XR에 속하는지 여부를 알려줍니다. 그렇다면, Bob은 Y0에 속하는지 아닌지를 알려줍니다. 이에 따라 R 또는 B 잎이 남아 있습니다. Alice의 입력이 XR에 없으면 Alice는 입력이 XL인지 여부를 알려줍니다. 그렇다면 L + B <1/2 잎이 남습니다. 그렇지 않다면, 최대 D <1/2의 잎이 남습니다.

모든 경우에 우리는 끝납니다. 당신이 무슨 생각을하는지 제게 알려주세요.

$c\le 2$$c \le 1.73$

참고 문헌

스타 시스 죽나. 부울 함수 복잡성 : 고급 및 프론티어. Springer, 2012.

VM 크랩 첸코. 복잡성과 깊이 사이의 관계. 제어 시스템의 합성에 관한 Metody Diskretnogo Analiza 32 : 76–94, 1978.