소수 계산 기능은 # P- 완전합니까?

리콜 소수 개수 은 IS 소수 계량 함수 . "PRIMES in P"에 의해, 계산 은 #P에 있습니다. 문제가 # P- 완전합니까? 아니면이 문제가 # P- 완전하지 않다고 믿을만한 복잡한 이유가 있습니까? $\pi(n)$ $\le n$ $\pi(n)$

추신 : 나는 누군가가 문제를 연구하고 이것을 입증 / 반증 / 추측해야했기 때문에 이것이 약간 순진하다는 것을 알고 있지만 문헌에서 답을 찾을 수없는 것 같습니다. 내가 왜 걱정하는지 궁금하다면 여기를 참조 하십시오 .

— 이고르 박
소스

@MohsenGhorbani : 아니요, "동일한"문제가 아닙니다. 비슷하지도 않습니다.

— Igor Pak

이에 대한 증거가 아니라 호기심 : n을 숫자로 취급하는 # P- 완료 인 단일 함수 을 알고 있습니까? 즉, 우리는 항상 n의 이진 표현을보고 이진 문자열을 SAT 수식 또는 그래프로 취급 할 수는 있지만 피하고 싶습니다.

f (n)

$f(n)$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow 하나의 매개 변수로 알고있는 "자연"(NT가 아님) 어려운 문제는 모두 # EXP-c에 있습니다. 그러한 문제의 예 : 타일 의 고정 된 세트 를 갖는 제곱 의 타일링의 수 (즉, 타일이 입력에 있지 않음). THM이 : 존재 성이 문제는 # EXP-C입니다.

n \times n

$n \times n$

T

$T$

T

$T$

— Igor Pak

@Joshua 이것은 의 NP-completeness와 매우 관련이 있습니다. 명백히 아직 명확한 답이 없습니다 : cstheory.stackexchange.com/questions/14124/…

f (n)

$f(n)$

— domotorp

알 , 이에 이제까지 밀러 - 라빈 이후 #P이었다.

# P^{B P P} = # P

$\mathrm{\#P^{BPP}=\#P}$

π

$\pi$

— Emil Jeřábek은 Monica를

휴리스틱 증거 : 우리가 아는 한, 은 임의의 변동에 의해 수정 된 간단한 함수처럼 보입니다. 따라서 나는 오라클이 있는 폴리 타임 머신이 랜덤 오라클이있는 머신보다 강력하지 않을 것으로 기대하고 임의의 오라클 를 별도의 랜덤 오라클 를 합니다. 확률이 1 인 (여기서 는 하고 는 독립 랜덤 오라클 임) $\pi(n)$ $\pi(n)$ $X$ $Y$ $\mathsf{P}$ $\#\mathsf{P}^X \not\subset \mathsf{P}^{XY}$ $Y$ $\pi(n)$ $X$

— 제프리 어빙
소스

마지막 문장이 오해의 소지가 있습니다. 실제로 이지만 여기서 실제로 필요한 것은 이며 이것이 사실인지 알 수 없습니다. 실제로 이것은 .

\underset{X}{Pr} [{P P}^{X} \neq P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}^X\ne\mathrm{P}^X]=1$

\underset{X}{Pr} [P P ⊈ P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}\nsubseteq\mathrm{P}^X]=1$

P P \neq B P P

$\mathrm{PP\ne BPP}$

— Emil Jeřábek은 Monica를

@ EmilJeřábek : 물론입니다. 그러나 이 # P- 완료되지 않았다는 증거의 관점 에서 # P- 완료이면 PP = BPP라면 공식적으로 보여줄 수 있습니다. # P- 완전성에 대하여…

π (n)

$\pi(n)$

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow 동의합니다. 난 단지 임의의 oracle을 가진 의 결과는 관련이 없다고 생각합니다 .

P^{X} \neq {P P}^{X}

$\mathrm P^X\ne\mathrm{PP}^X$

— Emil Jeřábek은 Monica를

@ EmilJeřábek : 네, 좋은 지적입니다. 편집하기 전에 aa가 두 개의 임의의 oracles를 받았다는 사실을 증거로 받아 들일 수 있습니까?

P^{X Y} \neq # P^{X}

$P^{XY} \ne \#P^X$

— Geoffrey Irving

우리는 그것을 알고 있습니까?

— Emil Jeřábek은 Monica를