행렬 곱셈이 시간에 있지 않다는 증거

모든 에 대해 시간에 두 개의 행렬 을 곱할 수 있다고 일반적으로 믿어집니다 . 몇 가지 토론이 있습니다 .$\epsilon > 0$$n \times n$$O(n^{2 + \epsilon})$

나는 연구에 더 익숙한 일부 사람들에게 행렬 곱셈을위한 알고리즘 이 존재하도록 과 독립적 인 이 있다고 생각하는지 압도적으로 대답은 "아니오"라는 직관이지만 그 이유를 설명 할 수는 없습니다. 즉, 우리는 시간에는 할 수 있지만 시간 에는 할 수 없다고 생각합니다 .$k>0$$n$$O(n^2 \log^k n)$$O(n^{2.001})$$O(n^2 \log^{100} n)$

고정 에서 알고리즘 이 없다고 믿는 이유는 무엇입니까 ?$O(n^2 \log^k n)$$k>0$

산술 연산 에서 행렬에 행렬을 있습니다. 이것에 사용되는 주요 정체성은 Coppersmith의 논문 "직사각형 행렬의 급격한 곱셈"에서 비롯되었지만 왜 대신 는 Williams의 논문 부록 "선형 임계 값 게이트가있는 회로의 새로운 알고리즘 및 하한"에 있습니다.$N \times N^{0.172}$$N^{0.172} \times N$$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$$N^{2 + \epsilon}$

이는 Coppersmith의 ID에 활용할 수있는 추가 구조가 있으며 최신 MM 알고리즘에는이 구조가없는 것 같습니다. 즉, 왜이 접근법을 행렬 곱셈 으로 확장하지 않을 수 있는지 잘 모르겠습니다 .$N \times N \times N$

글쎄, 우리가 아는 모든 구성은 물론 사람들이 제안한 잠재적 구성의 패밀리 (예를 들어, Cohn-Umans 접근법, Coppersmith-Winograd의 일반화)도 알고리즘 계열을 "단순하게"생성 할 것이라고 생각합니다. 시간에 실행중인 . 따라서 에서 실행되는 단일 알고리즘을 사용 하려면 현재 접근 방식보다 점진적으로 더 좋을뿐만 아니라 실제로 다르게 보일 것 입니다.$A_\epsilon$$O(n^{2+\epsilon})$$O(n^2 poly(\log n))$

큰 경고 : 나는 생각한다. 나는 시간에 실행되는 단일 알고리즘을 그럴듯하게 생성 할 수 있도록 기존 접근 방식에 얼마나 많은 수정 / 추가해야할지 너무 열심히 생각한 적이 없습니다 .$O(n^2 poly(\log n))$

Josh Alman은 MM의 멋진 하한 결과를 보여 CCC 2019 최고의 학생 논문상을 수상했습니다! http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf