카디널리티 술어와 함께 경계 cliquewidth의 그래프에서 MSOL 최적화 문제

CMSOL은 Monadic Second Order Logic을 계산합니다. 즉, 도메인이 꼭짓점과 가장자리의 집합 인 그래프의 논리입니다. 꼭짓점-정점 인접성 및 가장자리-정점 발생률에 대한 술어가 있으며 가장자리, 꼭짓점, 가장자리 세트 및 꼭짓점에 대한 수량 화가 있습니다. 세트하고있다 술어 하는 크기 여부 표현 이고 모듈로 . $\textrm{Card}_{n,p}(S)$ $S$ $n$ $p$

Courcelle 유명한 정리 된 경우한다고 $\Pi$ 그래프의 특성은 다음의 모든 그래프에 대해, CMSOL으로하여 표현할 $G$ 최대 treewidth의 $k$ 가 있는지 선형 시간에 결정될 수있다 $\Pi$ 트리 분해가 제공 보유 $G$ 주어진다 입력. 이후 정리의 정리는 나무 분해가 입력에 주어져야한다는 요구 사항을 제거하고 ( Bodlaender의 알고리즘 으로 계산 될 수 있기 때문에 ) 단지 결정이 아닌 최적화를 허용했다. MSOL 식 주어진하여 예 $\phi(S)$ 우리는 또한 최대 또는 최소 세트를 계산할 수 $S$ 를 만족 $\phi(S)$ .

내 질문은 Courcelle의 정리가 제한된 cliquewidth의 그래프에 적응하는 것과 관련이 있습니다. 정점, 모서리, 정점 세트에 대해 정량화를 허용하지만 모서리 세트에 대해서는 허용 하지 않는 MSOL1이있는 경우 모든 고정 대해 cliquewidth 의 그래프 (주어진 표식이있는 경우)가 주어지면 $G$ 비슷한 이론 이 있습니다. 그래프 가 일부 MSOL1 공식 만족시키는 지 선형 시간으로 ; 내가 본 모든 참고 문헌 $k$ $k$ $G$ $\phi$

Courcelle, Makowsky and Rotics, Computing Systems 이론, 2000 년에 의한 바운드 경계 폭의 그래프에 대한 선형 시간 해석 가능 최적화 문제 .

논문을 읽으려고했지만 MSOL1의 정확한 정의와 관련하여 자체적으로 포함 된 것은 아니며 솔직히 읽기가 어렵습니다. 입력에 clique 표현식이 제공되는 경우 그래프의 cliquewidth로 매개 변수화 된 FPT에서 정확히 최적화 할 수있는 것과 관련하여 두 가지 질문이 있습니다.

MSOL1은 술어가 설정된 모듈로의 크기를 일부 숫자로 테스트 할 수 있습니까? $\textrm{Card}_{n,p}(S)$
식이 주어 졌을 때 cliquewidth로 매개 변수화 된 FPT에서 MSOL1 공식 를 만족 하는 최소 / 최대 크기 세트 를 찾을 수 있습니까? $S$ $\phi(S)$

이 두 가지 질문 모두에 대해 이러한 결과를 주장 할 때 인용해야 할 올바른 참고 문헌이 무엇인지 알고 싶습니다. 미리 감사드립니다!

— 바트 얀센
소스

기사 중 일부를 수정하려고했는데 죄송합니다. 귀하의 질문에 관심이 있지만 수정 후에도 아이디어를 올바르게 이해하고 있는지 확실하지 않습니다. 따라서 MSOL1의 정확한 정의와 조건 자의 존재 및 최적화 문제의 FPT가 필요하다는 의미입니까?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

이상적으로 듣고 싶은 것은 각 고정 공식 에 대해 는 정점 설정 변수이고 공식 는 Card 술어를 포함하며 그래프 G와 폭 k의 clique-expression이 주어지면, 임의의 함수 대해 에서 를 만족 하는 최소 크기 세트 를 계산합니다. (또는 세트 가 만족시키지 않는 출력 ).

M S O L_{1}

$MSOL_1$

ϕ (S)

$\phi(S)$

S

$S$

ϕ

$\phi$

_{n, p} (S)

$_{n,p}(S)$

S

$S$

ϕ (S)

$\phi(S)$

f (k) | V (G) |^{O (1)}

$f(k) |V(G)|^{O(1)}$

f

$f$

S

$S$

ϕ

$\phi$

— 바트 얀센

Bruno Courcelle의 초안 책이 유용 할 수 있습니다. "그래프 구조 및 모나드 2 차 논리, 언어 이론적 접근"에서 labri.fr/perso/courcell/ActSci.html 을 참조하십시오 .

— András Salamon

감사; 이것은 책의 첫 번째 부분에있는 그의 정리 6.4가 정점과 가장자리 레이블의 모든 유한 세트 K와 L에 대해 Counting MSOL1 공식의 모델 확인 문제가 해결 되었기 때문에 문제의 적어도 부분 1)을 해결합니다. 매개 변수 cliquewidth (G) + 공식의 크기와 관련하여 매개 변수 입방체.

— 바트 얀센

답변:

좀 더 묻고 나면 1)과 2)에 대한 대답은 모두 그렇습니다. 세트의 카디널리티 최적화는 LinEMSOL에서 가능합니다 (Martin Lackner가 언급 한대로). 내가 말했듯이 카디널리티 술어의 존재는 문제가없는 유한 트리 자동 마몬에 의해 효율적으로 처리 할 수 있기 때문에 문제가 없습니다.이 구문 분석 트리 및 Myhill-Nerode- 경계 계급 폭의 그래프를 처리하기위한 도구를 입력합니다 .

— 바트 얀센
소스

http://www.labri.fr/perso/courcell/Textes1/BC-Makowsky-Rotics (2000) .pdf (당신이 언급 한 논문이지만 더 읽기 쉬운 버전)는 LinEMSOL (정의 10)을 정의합니다. LinEMSOL은 MSO1 최적화 문제를 허용하며 정리 4에서는 이러한 문제는 파쇄 폭과 관련하여 고정 매개 변수를 다루기 쉽다고 명시하고 있습니다. 따라서 두 번째 글 머리 기호 / 질문에 대한 대답은 '예'여야합니다.

첫 번째 글 머리표 : 브루노 쿠 셀르 (Bruno Courcelle)와 상일 움 (Ong-il Oum)의 "Vertex-minors, monadic 2 차 논리, Seese에 의한 추측"에서 저자들은 "MS 공식 φ (X)가 표현할 수 없다는 것이 증명 될 수있다" , 모든 구조에서, 세트 X는 카디널리티를 갖습니다. [10] "여기서 [10] ="Courcelle, 그래프의 모나드 2 차 논리 "

희망이 도움이

— 마틴 락너
소스

통찰력을 가져 주셔서 감사하지만 카디널리티를 명시 적으로 테스트 할 수있는 특수 술어가 추가 된 Counting MSOL 언어에 관한 질문이기 때문에 MS 공식 (일반적으로)이 카디널리티가 짝수인지 여부를 표현할 수 없다는 사실은 실제로 관련이 없습니다. 설정된 모듈로의 고정 수; 따라서 Counting MSOL 언어에서는 세트의 균일 성을 표현할 수 있으며, 문제는 cliquewidth로 매개 변수화 된 Counting MSOL의 문장을 만족하는 가장 작은 / 가장 큰 세트를 효율적으로 찾을 수 있는지 여부입니다. 어쨌든 고마워!

— 바트 얀센

물론 그렇습니다. 나는 당신이 언급 한 논문이 CMSOL을 다루지 않는다고 지적하고 싶었습니다. (나는 그렇게하는 결과를 모른다.)

— Martin Lackner