주장되는 이점에도 불구하고 왜 차동 근사 비율이 표준과 비교하여 잘 연구되지 않습니까?

근사 비율이 표준 근사 이론이 있습니다 $\sup\frac{A}{OPT}$( $MIN$ 목표 문제의 경우 ). $A$ 일부 알고리즘 A에서 반환 된 값 $A$과 $OPT$ 최적 값. 그리고 또 다른 이론 은 근사 비율이 \ inf \ frac {\ Omega-A} {\ Omega-OPT} 이고 \ Omega- 주어진 인스턴스에 대해 실현 가능한 솔루션의 최악의 값인 차등 근사 에 대한 이론 입니다. 이 이론 의 저자 는 그것이 고전적인 것보다 확실한 이점이 있다고 주장합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.$\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$$\Omega$

• 그것은 같은 문제의 다른 실현으로 알려진 최소 정점 커버 및 최대 독립 세트와 같은 문제에 대해 동일한 근사 비율을 제공합니다.
• 동일한 문제의 최대 및 최소 버전에 대해 동일한 비율을 제공합니다. 동시에 우리는 표준 이론에서 MIN TSP와 MAX TSP의 비율이 매우 다르다는 것을 알고 있습니다.
• 그것은 최적뿐만 아니라 pessimum \ Omega 까지의 거리를 측정 $\Omega$합니다. 따라서 Vertex Cover 표준 근사 이론의 경우 $2$ 가 최고 상한 이라고합니다 . 그러나 본질적 $2$ 는 pessimum과 최적 사이의 최대 비율입니다. 따라서 이러한 알고리즘은 솔루션을 최악의 값으로 출력합니다.

나의 주장은 다음과 같다 : 점근 분석에서 우리는 상수와 낮은 차수를 고려하지 않는다. 알고리즘의 리소스 사용을 비교하기위한 추상화 수준. 그러나 근사법을 연구 할 때 어떤 이유로 우리는 그것을 피할 수있는 곳에서 차이점을 소개합니다.

내 질문은

왜 미분 근사 이론이 그렇게 잘 연구되지 않았는가. 아니면 관련된 주장이 충분히 강하지 않습니까?

주장의 두 가지 해석이있다 "알고리즘 발견 α의 문제의 -approximation P를 "$A$$\alpha$$P$ :

1. 문제 것입니다 쉽게 우리가 좋은 근사를 발견하는 알고리즘을 갖고 있기 때문에, 상당히 잘 해결합니다.$P$
2. 알고리즘 것입니다 좋은 그것은 좋은 근사를 발견하기 때문에.$A$

근사 계수의 고전적 정의가 첫 번째 해석을 강조한다고 생각합니다. 우리는 그들이 얼마나 잘 해결하기 쉬운 지에 따라 문제를 분류 합니다.

차등 근사 비율은 두 번째 해석에 약간 더 큰 비중을 두는 것 같습니다. 사소한 알고리즘 (예 : 빈 세트 만 출력하는 알고리즘 또는 모든 노드 세트)을 "보상"하고 싶지 않습니다.

물론 둘 다 유효한 관점이지만 서로 다른 관점입니다.

좀 더 실용적인 관점에서 질문을 연구 할 수도 있습니다. 불행히도 정점 표지는 그다지 직접적으로 사용되지는 않지만 논쟁을 위해 다음 두 가지 (어떤 계획된) 응용 프로그램을 고려해 보겠습니다.

• 정점 표지 : 노드는 컴퓨터이고 가장자리는 통신 링크입니다. 모든 통신 링크를 모니터링하려고하므로 각 에지의 하나 이상의 엔드 포인트가 특수 프로세스를 실행해야합니다.

• 독립 세트 : 노드는 작업자와 에지 모델의 활동 간 충돌입니다. 우리는 동시에 수행 할 수있는 충돌없는 활동을 찾고 싶습니다.

이제 두 문제 모두 사소한 해결 방법이 있습니다. 모든 노드 세트는 꼭짓점 덮개이고 빈 세트는 독립 세트입니다.

주요 차이점은 정점 커버 문제로 사소한 솔루션 이 작업을 수행한다는 것 입니다. 물론 필요한 것보다 더 많은 리소스를 사용하고 있지만 실제로는 실제로 사용할 수있는 솔루션이 있습니다. 그러나 독립적 인 세트 문제로 사소한 솔루션은 완전히 쓸모 가 없습니다 . 우리는 전혀 진전이 없습니다. 아무도 아무것도하지 않습니다. 작업이 완료되지 않았습니다.

마찬가지로, 우리는 거의 사소한 솔루션을 비교할 수 있습니다 정점 커버 최대한의 매칭의 엔드 포인트 구성 및 독립적 인 설정 I 의 보완 C를 . 다시 한 번 C는 확실히 응용 프로그램에서 작업을 수행하며, 이번에는 2 단계 이상으로 리소스를 낭비하지 않습니다. 그러나 나는 다시 빈 세트 일 수 있습니다.$C$$I$$C$$C$$I$

따라서 근사 보증의 표준 정의는 솔루션이 유용한 지 여부를 직접 알려줍니다. 정점 커버의 2 근사로 작업이 완료됩니다. 근사 보증이없는 독립 세트는 완전히 쓸모가 없을 수 있습니다.

어떤 점에서, 미분 근사화 비율은 솔루션이 "사소하지 않은"정도를 측정하려고 시도하지만 이러한 응용 프로그램 중 어느 쪽에서 중요한가? (어플리케이션에서 문제가 되나요?)

나는 미분 근사라는 개념에 익숙하지 않으며 왜 그것이 잘 연구되지 않았는 지에 대한 이론이 없습니다. 그러나 근사 알고리즘의 성능을 단일 측정으로 설명하는 것이 항상 바람직하지는 않다는 점을 지적하고 싶습니다. 이런 의미에서, 어떤 조치가 다른 조치 보다 낫다 는 데 동의하기가 어렵다는 것을 알게되었습니다 .

예를 들어, 언급했듯이 최소 정점 표지는 다항식 시간 2 근사 알고리즘을 허용하지만 최대 독립 세트를 일정한 비율로 근사하는 것은 NP-hard입니다. 비록 이것이 첫눈에 놀랍다는 것을 이해하지만, 그것은 (1) 최소 정점 커버는 작을 때 잘 근사 할 수 있지만 (2) 큰 경우에는 근사 할 수 없습니다. 양의 일정한 차등 근사 비율로 최소 정점 커버 (및 최대 독립 세트)를 근사하는 것이 NP-hard라고 언급 할 때, 우리는 효과적으로 속성을 무시합니다 (1). 어떤 목적으로는 속성을 무시하는 것으로 충분할 것입니다. (1) 물론 항상 그런 것은 아닙니다.

근사 알고리즘의 성능을 설명하기 위해 근사 비율을 항상 사용하는 것은 아닙니다. 예를 들어, PCP 정리를 기반으로 한 대략적인 결과를 전체적으로 일반화하려면 갭 문제에 기초한 공식이 필요합니다. 자세한 내용 은 다른 질문에 대한 내 대답을 참조 하십시오. 이 경우 표준 근사화 비율이나 미분 근사화 비율을 사용하여 결과를 전체 일반으로 표현할 수 없습니다.

Tsuyoshi가 지적한 것처럼, 문제는 얻은 범위를 사용하려는 인수의 종류에 관한 것일 수 있습니다. 다음으로, 나는 두 가지 다른 동기를 개발하려고 노력할 것입니다.

형식의 표준 비율$\alpha = \frac{A}{OPT}$

형식의 다른 비율$\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$$\alpha\cdot 100\%$

따라서 파생 바운드의 종류에 따라 적절한 대안을 선택해야합니다.

$[\Omega, OPT]$