희소 다항식의 합은 O (n log n) 시간의 제곱입니까?

다항식 가 있다고 가정합니다 . . . , P는 m 이하인 정도의 N , N > m 제로 계수들의 총 개수가되도록, N (즉, 다항식은 드물다). 다항식을 계산하는 효율적인 알고리즘에 관심이 있습니다.$p_1,...,p_m$$n$$n>m$$n$

이 다항식은 기껏도 갖기 때문에 모두 입출력 크기는 O ( N ) . m = 1 의 경우 시간 O ( n log n )의 FFT를 사용하여 결과를 계산할 수 있습니다 . m < n에 대해이 작업을 수행 할 수 있습니까 ? 차이가 있다면 계수가 0과 1 인 특수한 경우에 관심이 있으며 정수를 계산해야합니다.$2n$$O(n)$$m=1$$O(n \log n)$$m<n$

최신 정보. 위의 빠른 솔루션은 빠른 행렬 곱셈의 발전을 의미합니다. 특히, 만약 우리가 오프 읽을 수 저 유전율 B의 유전율 J 의 계수로서 X I를 + N J 에서 P는 K ( X $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$$a_{ik} b_{kj}$$x^{i+nj}$ . 따라서, 컴퓨팅 P는 K ( X ) 2 개의 벡터들의 외적를 계산하고, 합계 산출에 대응 Σ k 값 P는 K ( X ) 2 매트릭스 제품을 연산에 대응한다. 시간 사용 용액 있으면 F ( N , m을 ) 컴퓨팅 Σ k 값 P는 K ( X ) 2 다음을 우리가 할 수 곱하기 두 N -by- N 개의 시간에 행렬 F ( n은 2 , $p_k(x)^2$$p_k(x)^2$$\sum_k p_k(x)^2$$f(n,m)$$\sum_k p_k(x)^2$$n$$n$ 즉 , m ≤ n에 대한 f ( n , m ) = O ( n log n ) 에는 중대한 돌파구가 필요합니다. 그러나 f ( n , m ) = n ω / 2 이며 여기서 ω 는 행렬 곱셈의 현재 지수입니다. 아이디어가 있습니까?$f(n^2,n)$$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

과 다항식 제곱 제로 계수하는 것은 시간이 걸린다 O ( X 2 I ) 이는 이들 다항식에 대한 FFT에 바람직해야하므로 일반적인 용어별로 승산 용어를 사용하여 X I < $x_i$$O(x_i^2)$ . 만약Σ내가XI=N과 다항식의 다음 번호X내가보다$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$ 은O($\sqrt{n \log n}$, 이것들은O(n 3 / 2 (logn) 1/2 / 2 )를 제곱하고 결합하는 데 (남은 다항식과 마찬가지로)시간이 걸립니다. 이것은m이Θ( √ ) 일때명백한O(mnlogn)에비해 개선된 것입니다.$O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$.$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

완전한 답변은 아니지만 도움이 될 수 있습니다.

주의 사항 : 의 지지대 가 작은 경우에만 잘 작동합니다 .$p_i^2$

다항식 경우, S q = { i ∣ a i ≠ 0 } 을지 지하고 s q = | S q | 지지대의 크기 여야합니다. 의 대부분의 페이지 내가 부족한 것, 즉, 작은 지원을해야합니다.$q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

다항식 와 b 에 제품 a b 의지지 크기에 준 선형 시간 을 곱하는 알고리즘이 있습니다 (예 : http://arxiv.org/abs/0901.4323 참조).$a$$b$$a b$

의지지 B (포함)은이 S + S의 B 두 세트의 합 S 와 T는 로서 정의되는 S + T : = { S +에 t를 | S ∈ S , t ∈ T } . 모든 제품의 지지대가 작을 경우 (예 : 총 선형 n) , 제품을 계산하고 모든 모노마 이어를 합산 할 수 있습니다.$ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

이 다항식 쉽게 찾을 수 있지만입니다 하고 ㄴ 의 지원의 크기하도록 b는 의 지원의 크기의 차입니다 와 B . 이 특정 응용 프로그램에서 우리는 다항식을 제곱합니다. 그래서 질문이 얼마나 큰 S + S는 비교 S . 이것에 대한 일반적인 측정은 배가 숫자입니다 | S + S | / | S | . 무제한 배가되는 세트가 있습니다. 하지만 당신은의 지원으로 큰 배가 번호 세트를 제외 할 경우 페이지의 $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$그러면 문제에 대한 빠른 알고리즘을 얻을 수 있습니다.

자연 근사 알고리즘에 주목하고 싶었습니다. 그러나 희소성을 활용하지는 않습니다.

랜덤 시퀀스 $(\sigma_i)_{i\in[n]}$$X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$ 취하면 FFT를 사용하여 n log n 시간 에 $X^2$ 를 계산할 수 있습니다 . 그런 다음 E X 2 = ∑ i p i ( x ) 2 = S 및 √$n\log n$$EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$$\sqrt{VX^2} = O(S)$. 따라서시간O(ε - 2 nlogn)에서$1+\varepsilon$근사값을얻을 수 있습니다.$O(\varepsilon^{-2} n \log n )$