순위와 대략적인 순위 사이의 가장 큰 격차는 무엇입니까?

우리는 0-1 행렬 순위의 로그가 결정 론적 통신 복잡성의 하한이고, 대략적인 순위의 로그가 무작위 통신 복잡성의 하한이라는 것을 알고 있습니다. 결정적 의사 소통 복잡성과 무작위 화 된 의사 소통 복잡성의 가장 큰 격차는 기하 급수적입니다. 부울 행렬의 순위와 대략적인 순위 사이의 간격은 어떻습니까?

— 피아 오
소스

행렬의 "대략 순위"는 무엇입니까?

— Suresh Venkat

부울 행렬 의 대략 순위는 모든 항목 에서 이 최대 만큼 다른 실제 행렬 의 최소 순위입니다 (Buhrman and Wolf 2001, "다항식에 의한 통신 복잡도 하한"참조). 질문을 편집하여 이것을 설명하고 (원하는 정의 인 경우) 의 역할을 설명하는 것이 도움이 될 것입니다 ( 순위의 차이는 따라 다르므로 ).

ϵ

$\epsilon$

M

$M$

A

$A$

M

$M$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

— mjqxxxx

먼저 몇 가지 배경을 제시하고 대략적인 순위를 정의하겠습니다. 통신 복잡성에 관한 Lee와 Schraibman Lower Bounds 의 최근 조사는 좋은 참고 자료입니다 .

정의 : 를 부호 행렬 이라고하자 . 대략 순위 근사 팩터 , 표시 , 인 $A$ $A$ $\alpha$ $rank^\alpha(A)$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j] \leq \alpha} rank(B)$ .

일 때 $\alpha\to \infty$

$rank^\alpha(A)=\min_{B:1\leq A[i,j]\cdot B[i,j]} rank(B)$ .

Krause 의 결과에 따르면 여기서 및 은 의해 상한 이있는 경계 오류 개인 코인 통신 복잡성 . $R_\epsilon^{pri}(A)\geq \log rank^\alpha(A)$ $\alpha=1/(1-2\epsilon)$ $R_\epsilon^{pri}$ $A$ $\epsilon$

위는 배경입니다. 이제 질문에 대답, Paturi 시몬는 것을 보여 주었다 완전히의 억제 할 수없는 오류 통신의 복잡성 특징 . 그들은 또한 이것이 통신 매트릭스가 인 부울 함수를 실현하는 배열의 최소 차원과 일치 함을 보여 주었다 . 항등 함수의 무한 오류 통신 복잡도는 입니다. 명심하십시오. $rank^\infty(A)$ $A$ $A$ $O(1)$

평등을위한 통신 행렬은 동일성, 즉 대각선에 행과 열이 있는 부울 행렬입니다 . 이것을 표시하겠습니다 . Alon 은 로 대수에 견고 함을 보여 주었다 Krause의 정리로 ). $2^n$ $2^n$ $I_{2^n}$ $rank^2(I_{2^n})=\Omega(n)$ $R_\epsilon^{pri}(EQ)=\Omega(\log n)$

항등 행렬의 전체 순위는 입니다. 따라서 와 대해 기하 급수적으로 큰 분리가 있습니다 . $2^n$ $\alpha=2$ $\alpha\to\infty$

— 마르코스 빌라 그라
소스

감사. 그러나 내 질문은 및 대해 초 지수 갭이 있는지 여부입니다 . 여기서 이지만 아닙니다 .

r a n k (A)

$rank(A)$

r a n k^{α} (A)

$rank^{\alpha}(A)$

α > 1

$\alpha>1$

α \neq \infty

$\alpha\neq\infty$

— pyao

아아,하지만 질문에 쓰여 있지 않습니다. 내 지식으로는 가장 큰 차이는 지수입니다.

— Marcos Villagra

Marcos는 와 사이 의 간격이 임을 나타내는 참조를 제공합니다 . 행렬의 크기가 때 어떻게 초 지수 차이가있을 수 있습니까?

2^{n} / n

$2^n/n$

r a n k

${rank}$

{r a n k}^{2}

${rank}^2$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

대신 의 간격을 의미 합니까?

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

— Sasho Nikolov

Sasho는 "슈퍼 지수 식"이란 무슨 의미입니까? 어떤 통신 문제에 대해서도 행렬은 항상 입니다.

{0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n}

$\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

— Marcos Villagra