모듈 식 분해 및 파쇄 폭

모듈 식 분해 및 클릭 폭 그래프 에 대한 몇 가지 개념을 이해하려고 합니다.

에서는 본 논문 ( "P4-단정 그래프에서") 모듈을 분해하여 도당 번호 또는 유채색 번호 등 최적화 문제를 해결하는 방법의 증거가있다. G1과 G2에 대한 답을 알면 두 개의 그래프 G1, G2를 구성하여 (비 연합 또는 비 연합 사용) 이러한 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다. P4- 타이 디 그래프의 분해에 대한 주요 그래프는 경계 그래프 (예 : C5, P5 등)이므로 이러한 "기본 사례"에 대해이를 해결 한 다음 컴포지션에 대해 쉽게 해결할 수 있습니다. 따라서 분해 트리를 사용하면 이러한 문제를 선형 시간으로 해결할 수 있습니다.

그러나이 기술은 모든 그래프 클래스에서 작동하여 그래프 프라임이 제한되는 것처럼 보입니다. 그런 다음 찾았습니다 이 논문 "바인딩 된 파쇄 폭의 그래프에서 선형 시간 해석 최적화 문제"를 이것은 내가 찾고있는 일반화를 만드는 것처럼 보이지만 잘 이해하지 못했습니다.

내 질문은 :

1- 분해 트리의 프라임 그래프가 (P4-tidy 그래프의 경우와 같이) 경계가 있고 그래프에 "Clique-Width"속성이 있다고 말하는 것과 동등합니까?

2- 1에 대한 답 이 NO 인 경우 : P-tidy 그래프와 같이 그래프 프라임이 바인드 된 그래프 클래스에 대한 결과가 존재하므로 이러한 모든 클래스에서 선형 시간에 풀 수있는 clique-number와 같은 최적화 문제 ?

여기에서 clique-width에 대한 소개 텍스트를 찾을 수 있습니다 (짧게는 CWd) : 그래프의 clique-width에 대한 상한 (B. Courcelle and S. Olariu, DAM 101). 이 조사에서보다 최근의 결과를 찾을 수 있습니다. 경계 clique-width의 그래프에 대한 최근 개발 (M. Kaminski, V. Lozin, M. Milanic, DAM 157 (12) : 2747-2761 (2009))

Cwd는 단어 연결을 일반화하는 그래프 연산을 기반으로하는 복잡성 측정입니다. 무한한 셀 수있는 그래프는 cwd로 제한 될 수 있습니다. 상수 k가 존재하는 경우이 세트의 그래프가 최대 kwd를 가질 수 있도록 그래프 세트 (무한 또는 무한)의 그래프 (유한 또는 계산 가능)가 cwd에 한정되었다고 말할 수 있습니다. 예를 들어, 완전한 그래프는 cwd 2, 거리 유전 그래프는 최대 3 cwd입니다.

1) cwd와 모듈 식 dec 간의 연결은 다음과 같습니다. cwd (G) = max {cwd (H) | G}의 모듈 식 dec에서 H 프라임. 따라서, cwd는 "프라임 그래프가 크기를 제한했다"는 사실을 일반화한다고 말할 수 있습니다. 무한대 크기의 소수 그래프와 경계 cwd가있는 그래프를 가질 수 있습니다.

2) 프라임 그래프의 크기가 제한되면 cwd가 제한됩니다. 인용 한 논문의 결과에 따르면 MSOL로 표현할 수있는 모든 문제는 묶인 cwd의 그래프 클래스에서 효율적으로 해결할 수 있다고합니다. 이 문제 세트에는 많은 NP- 완료 문제가 포함됩니다 : clique-number, 안정적인 수, 3 색성 ...

모듈 식 12 월의 일부 알고리즘 측면은 여기서 "모듈 식 분해의 알고리즘 측면에 대한 조사"(M. Habib and C. Paul, Computer Science Review 4 (1) : 41-59 (2010))에서 연구됩니다.