합계 에지 가중치 최대화

다음 문제에 이름이나 관련 결과가 있는지 궁금합니다.

를 가중 그래프로 하자. 여기서 는 와 사이의 간선의 무게를 나타내고 모든 , . 문제는 인접한 가장자리의 가중치 합계를 최대화하는 정점의 하위 집합을 찾는 것입니다. 서브 세트 내부와 서브 세트 외부에있는 모서리를 세고 있습니다. 이것이이 문제를 max-cut과 구별하는 것입니다. 그러나 와 가 모두 있더라도 가장자리 만 계산하고 싶습니다. $G = (V,w)$ $w(u,v)$ $u$ $v$ $u,v \in V$ $w(u,v) \in [-1,1]$

max_{S \subseteq V} \sum_{(u, v) : u \in S or v \in S} w (u, v)

$\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)$

u

$u$

v

$v$

S

$S$

(u, v)

$(u,v)$ 한 번만 (두 번이 아니라), 목적은 단순히 각도의 합이되는 것과 구별됩니다.

모든 간선 가중치가 음이 아닌 경우 문제는 사소한 것입니다. 간단히 전체 그래프를 가져 가십시오!

— 아론 로스
소스

중복 모서리를 세지 않는 것에 대한 정의가 나중에 메모와 일치하지 않습니다. 정렬 된 쌍 또는 2 요소 하위 집합을 합산하고 있습니까? (후자는 당신에게 필요한 재산을 줄 것입니다.)

— Suresh Venkat

또 다른 참고 사항 : 계산되지 않은 유일한 가장자리 무게는 V \ S 내부의 무게입니다. 전자의 경우 S '= V \ S 내부 가장자리 무게의 합계를 최소화하는 것이 더 자연스러운 문제 일 수 있기 때문에 경도 결과 또는 근사치에 관심이 있습니까? .

— Suresh Venkat

@Suresh : 근사 비율에 관한 한 문제의 공식적인 정의는 정확합니다. 그것은 단어에서 기대하는 것의 두 배를 정확하게 제공합니다.

— 이토 쓰요시

@TsuyoshiIto : 오, 컷을 가로 지르는 가장자리도 두 번 계산되기 때문에 알 수 있습니다.

— Suresh Venkat

Suresh가 그의 의견에서 언급 한 바와 같이, 문제는 무제한 {0,1} 2 차 프로그래밍 (NP-hard)과 동일하기 때문에 정확한 문제는 NP-hard입니다.

— 이토 쓰요시

답변:

실제로 해결책이 아니라 몇 가지 관찰 사항.

유니버스 및 집합 집합 및 가중치 함수 의 세트 찾아 되도록 (집합의 중량 요소의 총 중량이다) 최대화된다. 귀하의 문제는 각 요소 가 정확히 두 세트로 나타나는 경우에 해당 합니다 (그러나이 제한을 악용하는 방법은 확실하지 않지만 도움이 될 수는 있습니다). $U = \{1, \ldots, m\}$ $S_1, \ldots, S_n \subseteq U$ $w:U \rightarrow [-1, 1]$ $I \subseteq [n]$ $w(\bigcup_{i \in I}{S_i})$ $U$

이것은 적용 범위 문제입니다. Max-k-Set-Cover와 유사하지만 세트 사용에 대한 제한이없고 음수 가중치가 허용됩니다. Max-k-Set-Cover의 탐욕스러운 근사치 (각 단계에서 커버되지 않은 요소의 가장 큰 가중치를 가진 세트를 출력 함)는 첫 번째 세트가 근사치가되도록 일련의 세트를 출력 합니다. 최적 (따라서 이것은 모든 대한 동시 근사치입니다 ). 불행히도 평소와 같이 가중치가 음수 일 때 분석하는 데 문제가 있습니다. 탐욕 알고리즘 분석의 기본 관찰은 이 출력되는 첫 번째 세트 인 경우 ( $k$ $k$ $1 + 1/e$ $k$ $S_1$ $w(S_1) \geq OPT_k/k$ $OPT_k$ 가 최적 솔루션에서 세트 의 가중치 합보다 작고 각각의 가중치가 보다 때문에 세트로 포함되는 최대 가중치입니다 . 그러나 음수가 가중치 인 경우 가 최적 솔루션의 가중치 합계보다 는 것은 더 이상 사실이 . 일반적으로 공용체 제한은 더 이상 사실이 아닙니다. $k$ $OPT_k$ $k$ $w(S_1)$ $OPT_k$

— 사쇼 니콜 로프
소스

그러나 귀하의 문제는 대해 의 곱셈 요소 내에서 근사하기 어렵습니다 . $n^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

우리는 근사 경도가 알려진 독립 세트에서 근사 보존 감소를 제공함으로써 아래를 보여줍니다.

독립적 인 세트에서 감소

무 방향 그래프 를 독립 세트의 인스턴스로 둡니다. 하자 정점의 나타낸다 정도 에서 . 을 의 꼭짓점 수로 하자 . $G=(V,E)$ $d_v$ $v$ $G$ $n$ $G$

다음과 같이 에서 간선 가중치 그래프 를 생성 합니다. 각 모서리 부여 각 비 절연 정점에 대한 무게 1. 추가 무게 새로운 모서리 각을 로 새로운 정점을. 분리 된 각 정점 에 대해 새 정점에 가중치 1의 새 모서리 하나를 추가합니다. $G'=(V',E')$ $G$ $E$ $v\in V$ $d_v-1$ $-1$ $d_v-1$ $v\in V$

(참고 : 각각의 새로운 정점 (의 가 아니라 )에 정확히 하나 개의 이웃이 .) $G'$ $G$ $G$

렘마 는 독립적 인 크기 iff를 가지고 있습니다. (문제의 실례로서)는 값 이상의 해 집니다. $G$ $k$ $G'$ $k$

증명. 하자 어떤 독립적 인 세트로 . 의 정점 이후 다음, 에 독립적 인 의 값 에서 (당신의 목적에 의해)입니다 $S$ $G$ $S$ $G'$ $S$ $G'$

\sum_{v \in S} d_{v} - (d_{v} - 1) = | S | .

$\sum_{v\in S} d_v - (d_v-1) ~=~ |S|.$

반대로, 는 적어도 의 에 대한 해가되어야합니다 . 일반성을 잃지 않으면 서 에 새로운 꼭짓점이 없다고 가정 합니다. (각각의 새로운 정점 하나의 에지에 하는 경우. 격리되지 않은 후, 에지의 가중치는 제거하므로 에서 의 값이 증가 . 만약 절연 분리되도록 한 후, 에지의 가중치는 1이고, 에서 및 추가 값 유지 ). $S$ $G'$ $k$ $S$ $v'$ $(v',v)$ $v$ $G$ $-1$ $v'$ $S$ $S$ $v$ $v'$ $S$ $v$ $S$

일반성을 잃지 않고 가 의 독립 집합 이라고 가정합니다 . (그렇지 않으면 는 와 가 가 모서리가되어야합니다. 에서 의 입사 모서리 의 총 가중치 는 이므로 의 총 가중치는 의 입사 이외 에지 제로 대부분이다. 따라서, 제거 에서 값이 증가하지 않을 ). $S$ $G$ $(u,v)$ $u$ $v$ $S$ $v$ $G'$ $d_v - (d_v-1) = 1$ $v$ $(u,v)$ $v$ $S$ $S$

이제 증명 시작과 동일한 계산으로 의 값 은. 그것은 다음 그 . QED $S$ $|S|$ $|S| \ge k$

따로, 대신 또는 과 같은 추가 근사 를 요청할 수 있습니다 . $O(n)$ $\epsilon m$

귀하의 문제에 대해 양의 가치 솔루션이 NP 결정이 될 수 있는지 여부를 결정하는 것조차 가능합니다.

— 닐 영
소스