TCS의 Gröbner 기지?

누구든지 이론적 컴퓨터 과학에 대한 Gröbner 기반 의 흥미로운 응용에 대해 알고 있습니까?

Gröbner베이스는 일반적으로 NP-hard 문제인 다변량 다항식을 풀기 위해 사용됩니다. TCS 또는 TCS 관련 영역 (콤비 네이터, 코딩 이론)에서 효율적인 알고리즘 / 구성 / 증거를 제공하기 위해 다루기 쉬운 특수 사례가 사용되는지 궁금했습니다.

Gröbner 기본 계산은 일반적으로 EXPSPACE-complete이지만 PSPACE over Boolean ring입니다. 여기에는 BDD를 대체하기위한 모델 검사 응용 프로그램이 있습니다. Quoc-Nam Tran, "부울 링의 Groebner베이스 계산을위한 PSPACE 알고리즘", Proc. WASET, Vol. 2008 년 11 월 35 일, ISSN 2070-3740

[참고] Groebner 기준 계산이 부울 링보다 PSPACE에 있다는 결과는 잘못된 것 같습니다. Mark van Hoeij, 부울 링의 Gröbner 기준이 P-SPACE가 아님을 참조하십시오 ( arXiv : 1502.07220 , 2015).

[참고] Groebner 기본 계산이 부울 링보다 PSPACE에 있다는 결과는 잘못된 것 같습니다. 저자는 PSPACE 계산을 다항식 크기와 혼동합니다. PSPACE 함수는 기하 급수적으로 긴 출력을 가질 수 있습니다.

코딩 및 암호화에 Gröbner 기반의 응용 프로그램에는 흥미로운 Springer 볼륨이 있습니다.

• Gröbner Bases, 코딩 및 암호화 , / Sala, M .; Mora, T .; Perret, L .; 사카타, S .; Traverso, C. (Eds.).

개인적으로 저는 오류 탐지기 다항식 (코딩 이론, 특히 신드롬 디코딩에서 잘 알려진 개념)의 이상을 계산하기위한 알고리즘에 대한 연구를하고 있습니다. 알제리 기하학 오류 탐지기 코드의 경우 이상적인 것은 일반적으로 Gröbner Bases가 중심적인 역할을하는 여러 변수의 다항식에 이상적입니다. 위에서 언급 한 볼륨에서 가장 흥미로운 부분은 S. Sakata의 BMS 알고리즘 설명과 대수 기하학 코드 디코딩 응용 프로그램에 대한 조사입니다.

8F 워크숍에서 방금 들었습니다.

플로우 네트워크에서 네트워크 코딩이 구현 될 수 있다는 원래의 증거 는 Gröbner베이스를 사용합니다.

Gröbner 기반은 만족도 문제를 제한하기 위해 적용되었습니다 (이 보조금 참조 ). 이 시점에서 Gröbner 기본 기술은 우수한 범용 SAT 솔버는 말할 것도없고 성숙한 검색 휴리스틱, 일관성 적용 기술 및 효율적인 특수 목적 전파자와 경쟁하기 때문에 제약 조건 만족의 적용에는 유용하지 않은 것으로 보입니다. 그러나 나는 특히 Gröbner 기초가 적당한 크기 일 때 발견되기를 기다리는 이론적 용도가 있다고 생각합니다. MACIS 2007 (저널 버전 : AMAI 67 359–382, 2013, doi : 10.1007 / s10472-013-9365-7 ) 에서 발표 된 Jefferson, Jeavons, Green 및 van Dongen 의 논문을 참조하십시오 . .

나는 Gröbner 기준을 사용하여 복잡한 가중치 ( arXiv 버전 ) 를 갖는 단일 이진 제약 함수를 사용하여 3 개의 정규 그래프보다 #CSP 문제에 대한 새로운 이분법 정리에 대한 간단한 증거를 찾는 데 도움을 주었다 .

구속 기능의 세트의 자연 동치 관계가 즉, 경우 모든 가능한 경우에 대한 그래프. 3 정규 그래프의 경우 가능한 모든 그래프에 해당하는 것보다 적은 등가 클래스가 있습니다. 이분법 정리는 각 동등성 클래스에서 하나의 구속 함수의 복잡성을 입증하기 만하면되기 때문에 증거가 더 짧아집니다.# CSP ( f ) = # CSP ( g $f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

Gröbner 기준은 이진 함수를 정의하는 데 필요한 초기 4 개의 변수를 각 동등성 클래스에서 변하지 않는 6 개의 "기호화 된 변수"로 변환하는 데 사용됩니다 (위 링크 된 논문의 섹션 D 참조). 그러나 Gröbner의 기초는 다양한 다항식에서 Mathematica의 GroebnerBasis에 의해 수행 된 초기 4 개의 변수에서 6 개의 대칭 화 된 변수로의 자동 변환이 유일한 목적이기 때문에 논문에서 언급되지 않았습니다 .

다음 용지는 하나의 응용 프로그램으로 볼 수 있습니다.

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian : 다차원 지속성 컴퓨팅. 전산 기하학 저널, 1 (1) 2010, 72-100 쪽. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

필자는 저자들이 Buchberger의 알고리즘을 서브 루틴으로 사용하고 문제의 구조를 이용하여 실행 시간이 다항식으로 제한되어 있음을 증명합니다.

그랜트 패스 모어 (Grant Passmore) 와 다른 사람들은 SMT 솔버와 관련하여 이에 대해 글을 씁니다. 저는 Groebner베이스 나 SMT 솔버의 전문가가 아니므로이 참조가 귀하의 질문에 얼마나 잘 대답하는지 평가하기가 어렵습니다.

복잡성을 입증하기 위해, Gröbner베이스의 사용은 Clegg, Edmonds, Impagliazzo 에 의해 CNF 를 반박하기 위해 제안되었습니다 . 이 증명 시스템이 해상도를 기하 급수적으로 능가하는 경우가 있지만 일반적인 경우 성능이 실제로 향상되지는 않습니다.

또한 다항식 미적분 (그 로브 너 기반을 기반으로하는 증명 시스템)에 대한 결의안의 하한치가 상당 부분 유지되는 것도 사실입니다. 일반적으로 예외는 기본 필드의 특성에 따라 작성됩니다. 이는 에서 작업 하면 일부 수식에서는 도움이 될 수 있지만 다른 수식에서는 도움이되지 않습니다.$GF(2)$

그러나 다항식 미적분법은 해상도만큼 연구되지 않았으므로 잘 테스트 된 휴리스틱을 사용할 수 없습니다.

cryptanalysyis의 응용 프로그램에 대해서도 이것을 참조하십시오 (나는 그것에 대해 많이 알지 못합니다).

Alekseyev와 Pevzner는 이 논문 에서 이들을 선형 시간으로 두 게놈 사이 의 break 거리 를 계산합니다 . 느슨하게 말해서, 그 거리는 주어진 게놈을 조각 으로 자르고 그 게놈을 다른 주어진 것으로 변환하기 위해 재 배열 해야하는 최소 횟수로 정의됩니다 .$k$$k$

Grobner베이스는 Reed-Solomon 코드의 가장 빠른 목록 디코딩 알고리즘에 사용됩니다. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Gröbner베이스는 컴퓨터 비전의 다중 뷰 형상에서 중요한 문제를 해결하는 데 성공적으로 사용되었습니다 .

다음 http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf에게 때때로 그뢰 브너 기저 것은 (그래프가 방정식의 시스템으로 부호화 할 때) 동형을 결정하는데 사용된다. 그러나 이것은 CNFS를 반박하는 데 grobner 기초의 사용에 합류합니다.