정렬 된 변수를 사용하여 한 번에 선형 프로그래밍 솔루션

선형 프로그래밍 문제가 있습니다 : 를 , 따라 최대화하십시오 . 의 요소 , 및 음이 아닌 정수이다 엄격히 긍정적. ( 도 정수 여야하지만 나중에 걱정할 것입니다.)$c' x$$A x\le b$$x\ge0$$A$$b$$c$$c$$x$

내 응용 프로그램에서 계수 와 는 단순화 된 원 패스 알고리즘이 모든 선택에 대해 최적의 솔루션을 제공하도록하는 경우가 종종 있습니다. 원 패스 알고리즘은 요소 를 순서대로 결정하여 각 요소 를 선택합니다. 는 이미 결정된 값 과 일치하는 가장 큰 가능한 값 입니다. 심플 렉스 언어에서 변수를 입력하는 순서는 ~ 이며 단계 후에 종료됩니다 . 이는 완전한 단일 심플 렉스에 비해 많은 시간을 절약합니다.$A$$c$$b$$x_1,\dots,x_n$$x_j$$x_1,\dots,x_{j-1}$$x_1$$x_n$$n$

이 알고리즘은 의 열과 의 요소가 "저렴한"에서 "고가"로 정렬 된 경우 작동합니다 . "저렴한"변수는 일반적으로 작은 값을 가진 의 열이며 , 의 해당 요소 가 큰 경우 : 해당 요소 에 대해 제약 조건 에 대한 요구가 많지 않은 많은 출력을 얻습니다 . 따라서 알고리즘은 "쉬운 작업을 먼저 수행하십시오"라고 말합니다.$A$$c$$A$$c$$x$$b$

내 질문은 : 이 단순화 된 알고리즘이 모든 대해 작동한다는 것을 보장 와 속성은 무엇 입니까? 필자의 초기 추측은 의 0이 아닌 요소가 각 행에서 증가해야하지만 정확하지 않다는 것입니다.$A$$c$$b$$A$

다음은 . , , , . 이들 모두에 대해 순차적 알고리즘은 수치 실험에 의해 모든 값에 대한 최적의 솔루션을 제공합니다 . 은 열의 모든 순열도 작동하는 유일한 방법입니다.$c=(1,1,1)$$A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$$A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$b$$A_3$$A_1$$A_3$$(1,1,3)$보다 더 비싼 외모 과 보다 비싼 .$(1,3,0)$$(1,1,1)$$(1,0,0)$

나는 문헌에 대한 언급, 이와 같은 문제 또는 제안에 대해 대단히 감사하게 생각합니다. 일부 변수가 다른 변수보다 "저렴한"것으로 판단되어 안전하게 수행 할 수있는 다른 경우가 있었을 것입니다. 수년에 걸쳐 선형 프로그래밍에 대한 모든 작업을 수행 한 결과 비슷한 결과가 나왔지만 찾을 수 없었습니다.

욕심 많은 알고리즘이 LP를 해결하는 것으로 알려진 가장 유명한 사례는 운송 문제의 특수한 경우입니다. 호프만 (에서 "간단한 선형 프로그램에서" 볼록성 의 권. 7 순수 수학 심포지엄 논문집 , 페이지 317-327, 1963)을 실시한 경우 A (극대화) 교통 문제의 만족을위한 비용 행렬 몽주 속성 ( 때 , 다음 최적 솔루션 욕심 방법에서 찾을 수있다) 당신이 설명하는 것과 같습니다. $c_{ij} + c_{kl} \geq c_{il} + c_{kj}$$1 \leq i < k \leq n$$1 \leq j < l \leq n$

Hoffman은 또한 1985 년부터 욕심 많은 알고리즘이 LP에 대한 최적의 솔루션을 제공하는 알려진 사례를 논의 하는 설문지 ( " 성공하는 욕심 알고리즘 ")를 가지고 있습니다. 위에서 언급 한 자신의 작업 ( "욕심 많은 알고리즘에 민감한 것으로 알려진 [1963 년까지 알려진 대부분의 선형 프로그래밍 문제는 Monge 아이디어의 특별한 경우" ") 이외에도 Edmonds의 선형 프로그래밍 해석에 대해 언급했다. 무엇보다도 가 음수가 아닌 경우에 대한 matroids의 일반화와 사건에 대한 논의 .$A$

더 최근의 결과가 있다고 생각하지만, 이것이 적어도 부분적으로 귀하의 질문에 대답하고 다른 곳을 볼 수있는 아이디어를 제공하기를 바랍니다.

Spivey 교수의 제안에 힘 입어 Ulrich Faigle, Alan J. Hoffman, Walter Kern, "비 음성 상자 거친 행렬의 특성", SIAM J. Disc 등의 최첨단 기술을 마침내 찾아 냈습니다. 수학. 9 (1996) pp 1-6. 위에서 설명한 알고리즘이 모두에게 최적의 솔루션을 제공하면 행렬은 "욕심"입니다.$b$. 욕심 많은 알고리즘이 추가 조건으로 최적의 솔루션을 제공하면 행렬은 "상자 욕심"입니다$x\le d$ 모든 $b$ 그리고 다 $d\ge0$. 분명히 박스 욕심은 욕심보다 강한 상태입니다.

항상 이라고 가정하십시오 . Faigle, Hoffman 및 Kern 은 형식의 (모든 ) 하위 행렬 이없는 경우에만 가 상자 욕심 임을 증명합니다 각 및 . 하위 행렬을 추출 할 때 행의 임의 순열이 허용되지만 열은 허용되지 않으며 행과 열의 임의의 하위 설정이 허용됩니다. 따라서 특히 이면 각 행에서 0이 아닌 요소는 줄이지 않아야합니다.$c_1\ge\dots\ge c_n>0$$A$$k\times(k+1)$$k$$\begin{pmatrix} r_1 & s_1 & & & \\ r_2 & & s_2 & & \\ \vdots & & & \ddots \\ r_k & & & & s_k \end{pmatrix}$$r_j>0$$\sum_{i:s_i>0} \frac{r_i}{s_i} > 1$$k=1$$A$

불행히도 내 문제에서 매트릭스는 욕심이 있지만 욕심이 없다고 밝혀졌습니다. 예를 들어, 위의 에서 조건이 위반되고 욕심이 많지만이 매트릭스는 상자 욕심이 아닙니다. 내가 아는 한, 탐욕스러운 행렬을 식별 한 결과는 없습니다.$A_1$

이와 같은 가장 쉬운 예는 항목을 분류 할 수있는 부분 배낭 문제 일 수 있습니다. 이 문제 (및 lp dual)는 무게 당 이익을 위해 항목을 정렬하고, 실행 가능한 가장 긴 순서를이 순서대로 선택하고 마지막 항목을 분류하여 해결할 수 있습니다.