여러 패스로 st-connectivity의 공간 사용량을 줄입니까?

n 개의 꼭짓점이 있는 그래프 가 m 개의 가장자리 스트림으로 표시되지만 스트림을 통해 여러 패스가 허용 된다고 가정 합니다.$G$$n$$m$

Monika Rauch Henzinger, Prabhakar Raghavan 및 Sridar Rajagopalan 은 데이터에 k 패스가 허용되는 경우 G에 주어진 두 정점 사이에 경로가 있는지 여부를 결정하기 위해 공간이 필요 하다는 것을 관찰했습니다 . 그러나 기술 보고서 ​​버전 도 참조하십시오 . 그러나 실제로 이러한 한계를 달성하기위한 알고리즘은 제공하지 않습니다. 최적의 알고리즘은 실제로 O ( ( $\Omega(n/k)$$G$$k$일정한 크기의 포인터를 사용하여 메모리를 인덱싱 할 수없는 경우 n 개의 서로 다른 정점을 구별해야하기 때문에 현실적인 컴퓨팅 모델의 공간은 n ) / k ) 입니다.$O((n\, \log\, n)/k)$$n$

O 를 사용하여 패스로 그래프 연결을 결정하는 방법 ( ( $k$ 공간?$O((n\, \log\, n)/k)$

패스가 하나만 허용되면 입력 데이터를 정점 세트의 파티션으로 저장하여 두 정점 사이의 정점 사이에 모서리가있는 경우 세트를 병합 할 수 있습니다. 이것은 분명히 최대 공간. 내 질문은 k > 1 에 관한 것입니다. 필요한 공간을 줄이기 위해 더 많은 패스를 어떻게 사용할 수 있습니까?$O(n\, \log\, n)$$k > 1$

(사 소성을 피하기 위해, 는 상수에 의해 선험적으로 제한 될 수없는 매개 변수이며, 공간 경계는 n 과 k 모두의 함수를 포함하는 표현식 입니다.)$k$$n$$k$

업데이트 : 경우 에도 n / 2 정점 만 저장하는 방법이 유용합니다 . 또는 k에 관계없이 일부 상수 c에 대해 더 강한 하한 c n 이 실제로 있습니까?$k=2$$n/2$$cn$$c$$k$

서브 선형 공간과 다항식 시간에서 동시에 실행되는 st-connectivity 알고리즘을 찾는 것은 오랫동안 열려있는 문제입니다. 이러한 알고리즘은 방향 이 지정 되지 않은 버전 으로 알려져 있지만 k-pass 알고리즘에 의해 암시되는 O (km) 시간이 아닌 다항식 시간이 필요합니다. 지시 된 사건이 ​​어려운 것처럼 보이는 이유에 대해서는 Tompa의 논문에 대한 참조를 특히 참조하십시오.

$k = \Theta(n)$$O(\log n)$$O(nm)$

$k$

또 다른 비 대답 : 큰 그래프에서 작동하는 mapreduce 스타일 알고리즘에 대한 논문이 있습니다. 목표는 밀도 그래프에 대해 기계 별 공간 o (m)을 달성하는 것이지만 일반적으로 기계 당 O (n) 공간이 필요합니다.

theory.stanford.edu/~sergei/papers/soda10-mrc.pdf http://theory.stanford.edu/~sergei/papers/spaa11-matchings.pdf

$O(n\log n/ k)$$k$$n/k$$st$$n/k$$n/k$$st$