노름 보존 튜링 기계

양자 컴퓨팅 ( here , here , here ) 에 대한 최근 스레드를 읽으면 일종의 -norm 보존 기계 의 힘에 관한 흥미로운 질문을 기억할 수 있습니다. $\ell_p$

양자의 복잡성에가는 복잡성 이론에서 일하는 사람들에게 좋은 입문 텍스트는 여호수아 Grochow에 의해 게시 된 링크 Fortnow의 논문입니다 여기 . 이 논문에서 양자 튜링 머신은 일반화 된 확률 적 튜링 머신으로 제시됩니다. 기본적으로, 확률 기계 상태가 언더 정규화 -norm 즉 . 기계의 시간 변화는 (A)의 애플리케이션에 의해 주어진 확률 행렬 되도록 , 즉 유지 -norm. 시간 의 상태 는 $s$ $\ell_1$ $\parallel s\parallel_1=1$ $P$ $\parallel Ps\parallel_1=1$ $P$ $\ell_1$ $t$ $P^ts$ ( 의 왼쪽 또는 오른쪽 곱셈이 가 행 또는 열 벡터인지 또는 의 행 또는 열 이 표준을 유지하는 부분 공간 인지에 따라 다르 므로 표기법이 정확하지 않을 수 있습니다 ). 따라서 이러한 의미에서 확률 적 튜링 머신은 로 표시된 -norm 보존 머신입니다 . $P$ $s$ $P$ $\ell_1$ $M^{\ell_1}$

그런 시스템을 튜링 양자는 상태 갖는 것으로 볼 수있다 함께 및 유니 터리 행렬 (즉, 보존 -norms)되도록 시간에서의 상태 곳 . 이것은 로 표시된 -norm 보존 시스템입니다 . $s$ $\parallel s\parallel_2=1$ $P$ $\ell_2$ $P^ts$ $t$ $\parallel P^ts\parallel_2=1$ $\ell_2$ $M^{\ell_2}$

일반적으로 -norm 보존 시스템을 . $\ell_p$ $M^{\ell_p}$

그래서 내 질문은 :

(1) 유한 위한 -norm 보존 기계 의 힘은 무엇입니까 ? 더 공식적으로, 우리는 주어진 입증 할 수있는 와 경우, 다음의 언어가 존재 및 기계 있도록 효율적으로 결정 더 머신이없는 효율적 결정 . 예를 들어, 이것은 문제의 일반 화일 수 있으며, ?입니다. $\ell_p$ $p$ $p$ $q$ $q>p$ $L$ $M^{\ell_q}$ $M^{\ell_q}$ $L$ $M^{\ell_p}$ $L$ $NP \subseteq BQP$

(2) 어떻습니까? 여기서 상태 벡터의 구성 요소의 최대 값은 1입니다. $p=\infty$

(3)이 질문들은 단일성을 넘어서 양자 역학에 동의하지 않을 것으로 예상된다. 일반적으로 연산에 대한 단일성 제한을 완화하면 계산은 어떻게됩니까? 비선형 연산자를 허용하는 작업이 있습니다 ( Aaronson 2005 참조 ).

(4) 아마도 가장 중요한 것은 보편적입니까? 특정 경우에 보편적이기 때문에 이것이 분명하다고 생각합니다. 그러나 일 때 보편성은 어떻게됩니까 ? $p=\infty$

— 마르코스 빌라 그라
소스

Scott Aaronson의 매우 흥미로운 논문 : Quantum Mechanics가 이론적 인 섬인가? scottaaronson.com/papers/island.pdf

— 이토 츠요시

츠요시, 이것을 답변으로 바꿀 수 있습니까? Scott이 Marcos의 질문을 직접 다루고있는 것 같습니다. 논문에서 발의안 5를보십시오 ...

— Ryan Williams

아직 완전히 읽지 않았지만 위의 질문 (1)과 (3)에 답하는 것 같습니다.

— Marcos Villagra

@ 라이언 : 완료. 다음에는 이름 앞에 at-sign을 추가하여“responses”페이지에 나타나도록하십시오.

— 이토 쓰요시

답변:

이 질문에 대한 완전한 답변은 아니지만 의견으로 작성하기에는 너무 깁니다. 이전 코멘트를 확장합니다.

"양자 역학의 공리가 약간 수정되면 계산은 어떻게됩니까?"라는 질문은 Scott Aaronson의 재미있는 논문 [Aar04]에서 자세히 다루고 있습니다. 귀하의 질문은 [Aar04] 섹션 2의 전반부에 본질적으로 답변 된 것으로 판단됩니다.

Aaronson은 p> 0 및 p ≠ 2 인 경우 모든 벡터에 대해 p- 노름을 유지하는 행렬은 반드시 일반화 된 순열 행렬 (순열 행렬과 대각 행렬의 곱)임을 보여줍니다. 그는 p = ∞의 경우에도 마찬가지라고 주장한다. 이 모든 것은 ℝ 이상과 ℂ 이상을 유지합니다. 여기에는 p = 1의 경우가 포함됩니다. 확률 적 행렬은 음이 아닌 벡터에 대해서는 1- 노름을 유지하지만 모든 벡터에 대해 일반적인 것은 아닙니다.

[For00]에서와 같이 일반화 된 확률 적 튜링 머신은 결정적 튜링 머신 인 경우에만 전역 전이 행렬로 일반화 된 순열 행렬을 가지고 있지만, 아직 증거가 없습니다.

Aaronson은이 논문에서 양자 역학의 공리에 대한 몇 가지 다른 수정들에 대해서도 논의하고있다. 예를 들어, 허용 된 게이트 세트 대신 측정 규칙을 변경하여 결과 x가 확률 | α _x | ^p / ∑ _y | α _y | ^p , 여기서 α _y 는 | y⟩의 진폭이며,이 "양자 컴퓨터"는 p = 2 (제안 5)가 아니면 다항식 시간에 PP의 문제 (NP- 완전 문제 포함)를 해결할 수 있습니다.

참고 문헌

[Aar04] Scott Aaronson. 양자 역학은 이론 공간의 섬인가? Växjö 회의의 진행에서“Quantum Theory : Reconsideration of Foundations,”2004. arXiv : quant-ph / 0401062 v2.

랜스 포트 노우. 양자 컴퓨팅에 대한 한 복잡한 이론가의 견해. 컴퓨팅 : 호주 이론 심포지엄 (CATS 2000), pp. 58–72, 2000 년 1 월. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

— 이토 츠요시
소스

저에게는 이것이 왜 진폭이 제곱이고 왜 4 이상의 전력이 아닌지에 대한 최고의 정당화입니다. QM을 처음 배울 때 이런 종류의 결과를 알고 사각형 선택이 너무 임의적으로 보였기를 바랍니다.

— Artem Kaznatcheev

$p \not\in \{1,2\}$ $\ell_p$ $\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$ $\ell_1$ $\ell_2$ $\Omega(N^{1/p})$ $\ell_\infty$ $\ell_p$ $\ell_q$ $1/p+1/q=1$ $\ell_p$ $p$

— 댄 스탈 케
소스