경계도 그래프에서 분수 소수 색의 근사 경도

경계도 그래프에서 분수 색도를 근사화하는 것은 apx-hard입니까?

— 애쉬 윈 쿠마르 BV
소스

분수 색수 는 무엇입니까 ?

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany : 색도의 LP 변형, 예를 들어 en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring

— Jukka Suomela

예.

내가 올바르게 이해한다면, Khot (2001) 의 정리 1.6의 증거 는 충분히 높은 정도의 경계도 그래프에 초점을 맞추더라도 다음 두 경우를 구별하는 것은 NP-hard라는 것을 입증합니다.

이 -colouring은. $k$
정점 수와 독립 집합의 최대 크기의 비율은 최소한 입니다. $k^{\log(k)/25}$

분수 색수의 관점에서이 두 경우는 다음과 같습니다.

소수 색도는 최대 입니다. $k$
소수 색도는 입니다. $k^{\log(k)/25}$

이제 우리는 ( 의 함수로) 충분히 높은 각도가 필요하다는 것을 기억해야합니다 . 그러나 내가 알 수있는 한, 증거는 예를 들어 이미 귀하의 목적에 충분할 수있는 다음과 같은 편리한 추론을 가지고 있습니다. $k$

임의 인 상수 ,이 상수 및 등의 NP-하드에서 다음과 같은 문제가 있음 : 그래프 주어진 최대치의 의 부분 색 번호 결정할 많아야이다 또는 적어도 . $\alpha$ $\Delta$ $c$ $G$ $\Delta$ $G$ $c$ $\alpha c$

물론 이것은 P = NP가 아닌 한 PTAS가 없음을 이미 의미합니다.

— 주카 수오 멜라
소스

확실히 마지막 기록에는 상수에 대한 다른 수정자가 있습니다. 그렇지 않으면 , 및 의 작은 값에 대해 매우 잘 알려져 있습니다 .

Δ

$\Delta$

c_{1}

$c_1$

c_{2}

$c_2$

— Andrew D. King

@ AndrewD.King : 맞아요, 당신은 그것들 중 임의의 것을 크게 만들 수 있습니다. OP의 질문에 대답하기에 충분합니까?

— Jukka Suomela

@JukkaSuomela 나는 언급했듯이 이것이 APX 경도를 증명하지 못한다는 것을 의미합니다. 예를 들어 입방 그래프의 색도를 결정하는 것은 NP-hard라는 것은 잘 알려져 있습니다 (Holyer, SICOMP, 1980). 즉, 최대 차수가 4 인 선 그래프의 색도를 결정하는 것은 NP-hard임을 의미합니다. 내가 4라고 생각하는 것은 : 상수 주어지면 상수 , 및 가 존재 하여 , ... 맞습니까?

k

$k$

Δ

$\Delta$

c_{1}

$c_1$

c_{2}

$c_2$

k c_{1} < c_{2}

$kc_1<c_2$

— 앤드류 D. 킹

@ AndrewD.King : 그렇습니다, 나는 대답을 편집 할 것입니다; 그렇게하면 더 이해가 되길 바랍니다. :)

— Jukka Suomela