유한 아벨 리아 그룹에 대한 회원 테스트의 복잡성

다음과 같은 abelian-subgroup 멤버쉽 테스트 문제를 고려하십시오 .

입력 :

유한 아벨 리아 그룹 $G=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_m}$ 임의의 큰 $d_i$ .

부분 군 의 생성 집합 . $\lbrace h_1,\ldots,h_n\rbrace$ $H\subset G$

소자 $b\in G$ .

출력 : 이면 'yes', $b\in H$ 다른 곳에서는 'no'입니다.

질문 : 이 문제를 기존 컴퓨터에서 효율적 으로 해결할 수 있습니까? 일반적인 튜링 머신의 일반적인 의미에서 $O(\text{polylog}|G|)$ 시간 및 메모리 리소스를 사용하면 알고리즘이 효율적이라고 생각합니다 . 하위 그룹 대해 $n= O(\log|G|)$ 로 가정 할 수 있습니다 . 이 문제 의 입력 크기 는 . $H$ $\lceil \log|G|\rceil$

약간의 동기 부여 . 직관적으로 문제는 선형 합동 시스템 또는 선형 디오 판틴 방정식 (아래 읽기)을 해결하는 알고리즘으로 해결할 수있는 것처럼 보입니다. 그러나 다음과 같이 정수를 사용한 계산과 관련하여 사용되는 계산 효율에 대한 개념이 다른 것 같습니다. 나는 이러한 정의에 대한 전문가가 아니며이 질문을 명확하게 해결하는 참고 문헌을 찾을 수 없습니다.

업데이트 : 문제에 대한 대답은 "예"입니다.

늦은 대답에서, 나는 처방 된 양식을 가진 모든 그룹에 효율적인 Smith 일반 양식을 기반으로 한 방법을 제안했습니다.

Blondin의 답변에 따르면 모든 가 및 가 "작은 정수"인 경우 문제는 속합니다 . 입력 크기가 작은 정수는 지수 적으로 작습니다 . $d_i$ $d_i= N_i^{e_i}$ $N_i, e_i$ $\text{NC}^3\subset \text{P}$ $O(\log\log|A|)$

내 대답에서 나는이 문제를 해결하기 위해 "직교 하위 그룹"을 사용했지만 이것이 필요하지 않다고 생각합니다. 나는 내가 읽고있는 Echelon 양식 행을 기반으로 미래에보다 직접적인 답변을 제공하려고 노력할 것입니다.

몇 가지 가능한 접근법

문제는 선형 합동 시스템 및 / 또는 선형 디오 판틴 방정식을 푸는 것과 밀접한 관련이 있습니다. 완료를 위해 이러한 연결을 간단히 요약합니다.

열을 생성 세트 의 요소 인 행렬로 를 취하십시오 . 다음 방정식 시스템 $A$ $\lbrace h_1, \ldots, h_n \rbrace$

A x^{T} = (\begin{matrix} h_{1} (1) & h_{2} (1) & \dots & h_{n} (1) \\ h_{1} (2) & h_{2} (2) & \dots & h_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ h_{1} (m) & h_{2} (m) & \dots & h_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix}

$Ax^{T}= \begin{pmatrix} h_1(1) & h_2(1) & \ldots & h_n(1)\\ h_1(2) & h_2(2) & \ldots & h_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ h_1(m) & h_2(m) & \ldots & h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix}$

경우에만 솔루션이 있습니다. $b\in H$

모든 순환 요인이 차원이 같으면 다항식 시간에서 문제를 해결하는 Smith 정규형을 기반으로하는 알고리즘이 있습니다. 이 경우에서 효율적인 알고리즘 [1] 의 스미스 정규형 발견 : 그것은 대각 행렬 복귀 두 가역 행렬 와 되도록 . 이것은 등가 시스템 시스템 해결하는 문제를 감소 와 대각선. 유클리드 알고리즘을 사용하여 시스템에 솔루션이 있는지 효율적으로 결정할 수 있습니다. $d=d_i$ $A$ $D$ $U$ $V$ $D=UAV$ $DY=Ub \mod d$ $D$

위의 예는 일반적인 경우에 유사한 기술을 사용하여 문제를 효율적으로 해결할 수 있음을 제안합니다. 모듈 식 연산을 수행하거나 시스템을 더 큰 선형 디오 판틴 방정식 시스템으로 전환하여 시스템을 풀 수 있습니다. 내가 생각할 수있는 문제에 접근하는 몇 가지 가능한 기술은 다음과 같습니다.

Smith 일반 형태의 . $A$
행 Echelon 형식의 계산합니다 . $A$
정수 가우스 제거.

— 15 개정
소스

동시에 MO에 crossposted : mathoverflow.net/questions/81300/...

— 수레 쉬 벤 카트

이 질문을 동시에 교차 게시 한 것으로 보입니다 . 우리가되는 질문을 신경 쓰지 않지만 재 게시 , 우리의 사이트 정책은 충분한 시간이 경과 동시 교차 투고 (crosspost)은 노력과 골절 토론을 중복 때문에, 다른 곳에서 원하는 답을 얻을하지 않았다 후에 만 재 게시를 허용하는 것입니다. 이 질문을 지금 닫는 것으로 표시 한 다음 다른 사이트에서 관련 토론을 요약 한 후 필요한 경우 열도록 다시 질문 할 수 있습니다.

— Suresh Venkat

원본 포스터 요청시 문을 닫습니다 (MO의 복제로 인해).

— Dave Clarke

게시물이 닫히기 전에 답변을 게시했습니다. 내 생각에, 질문은 복잡도 이론 문헌에서 광범위하게 연구 되었기 때문에 mathoverflow보다 여기에 더 적합합니다.

— Michael Blondin

OP 요청에 따라 재개; 복잡성에 초점을 맞추면 여기에 적합합니다.

— Suresh Venkat

답변:

확인 여부 (여기서 작전의 코멘트에 따른 벡터이다)이 시스템에 대한 솔루션이 존재하는지 확인 동등하다 : $b \in \langle h_1, \ldots, h_n\rangle$ $h_i$

(\begin{matrix} h_{1} (1) & \dots & h_{n} (1) & d_{1}^{e_{1}} & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ h_{1} (m) & \dots & h_{n} (m) & 0 & 0 & \dots & d_{m}^{e_{N}} \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ ⋮ \\ x (n) \\ y (1) \\ ⋮ \\ y (m) \end{matrix}) \equiv (\begin{matrix} b (1) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} h_{1}(1) & \cdots & h_{n}(1) & d_1^{e_1} & 0 & \cdots & 0 \\\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\\\ h_{1}(m) & \cdots & h_{n}(m) & 0 & 0 & \cdots & d_m^{e_N} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1) \\\\ \vdots \\\\ x(n) \\\\ y(1) \\\\ \vdots \\\\ y(m) \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} b(1) \\\\ \vdots \\\\ b(m) \end{pmatrix}$

귀하의 경우 은 작은 숫자입니다 (즉, 값은 입력 크기에서 로그입니다). 불행하게도 이 가정 할 수없는 것 같습니다 . $e_1, \ldots, e_N$ $d_1, \ldots, d_n$

그렇다면 McKenzie & Cook [1] 의 결과 에서 의 시스템에 대한 솔루션을 찾을 수 있습니다 . 이 논문은 선형 합동 해결 모듈로 작은 요소 (LCON)를 갖는 정수가 줍니다. 또한이 문제는 Abelian Permutation Group Membership Problem (AGM)과 동일합니다. 맥켄지 박사의 논문은 이러한 문제에 전념하고있다 [1] . 보다 최근에는 Arvind & Vijayaraghavan에 의해 이러한 문제들이 고려되었다 [3] . $\text{NC}^3$ $\text{NC}^3$ $\text{NC}^1$

[1] 피에르 맥켄지 & 스티븐 에이 쿡. Abelian 순열 그룹 문제의 병렬 복잡성. 1987.

[2] 피에르 맥켄지. 병렬 복잡성과 순열 그룹. 1984.

[3] V. Arvind & TC 비자 야라가 반. 로그 공간 계산 클래스를 사용하여 선형 합동 및 Abelian 순열 그룹에 대한 문제 분류. 2010.

— 마이클 블론디 언
소스

고마워, 불행히도 나는 월요일까지이 논문에 접근 할 수 없다. 이것이 어떤 아벨 리아 그룹에도 적용된다는 것이 놀랍습니다. 들면 아벨이며, 어떠했는지를 결정하는 단계 속해 어떠했는지를 결정하는 것을 포함 용액을 갖는다. 여기에는 두 가지 문제가 있습니다. 1) 일반적으로 오일러의 유능함 함수를 계산하기가 어렵습니다. 2) 이산 로그의 결정 버전입니다. 주기적 분해가 주어지면 문제는 모듈 식 방정식을 푸는 것으로 줄어 듭니다. 이 문제를 어떻게 해결합니까? 여기서 중요한 것을 놓치고 있습니까?

Z_{N}^{*}

$Z_N^*$

b

$b$

⟨ a ⟩

$\langle a \rangle$

b = a^{i} \mod φ (N)

$b=a^i\mod \varphi(N)$

— Juan Bermejo Vega

실제로, 그것은 모든 아벨 리아 순열 그룹을위한 것입니다.

— Michael Blondin

나는이 논문들을보고 모든 것을 조금 정리하려고 노력할 것이다. 감사.

— Juan Bermejo Vega

입력 인코딩에 대한 자세한 정보를 제공 할 수 있습니까? 이렇게하면 대답을 향상시킬 수 있습니다.

— Michael Blondin

그룹 분해 입력 (여러 숫자와 내가 추측하는 길이). 그런 다음 그룹의 각 요소는 이며 튜플 숫자로 나타낼 수 있습니다. 저장하려면 비트가 필요합니다. 이것이 대답합니까?

A = Z_{d_{1}} \times Z_{d_{1}} \dots \times Z_{d_{N}}

$A=\mathbb{Z}_{d_1}\times\mathbb{Z}_{d_1}\ldots\times\mathbb{Z}_{d_N}$

(g_{1}, \dots, g_{n})

$(g_1,\ldots,g_n)$

n := ⌈ l o g_{2} | A | ⌉

$n:= \lceil log_2 |A|\rceil$

— Juan Bermejo Vega

얼마 후, 문제의 복잡성이 다항식이라는 것을 증명하는 아마도 최적이 아니지만 간단한 알고리즘을 찾았습니다.

연산

(a) 직교 서브 그룹의 계산하는 생성 세트 의 . $H^{\perp}$ $H$

(b) 요소 가 직교 인지 확인합니다 . $b$ $H^{\perp}$

문제 (a)와 (b)에 대한 효율적인 비유 법적 알고리즘이 있습니다 (아래 분석 참조). 이것은 요소 가 경우에만 와 직교 하므로 효율적인 멤버쉽 테스트를 제공합니다 . $b$ $H^\perp$ $h\in H$

분석

직교 서브 그룹 는 의 문자 그룹을 통해 다음과 같이 정의 됩니다. 주요 속성 : $H^{\perp}$ $G$

H^{⊥} := {g \in G : χ_{g} (h) = 1 \forall h \in H}

$H^{\perp}:= \{g\in G : \chi_g(h)=1\quad \forall h\in H \}$

$H^{\perp}$ 는 의 하위 그룹입니다 . $G$
$H^{\perp^\perp}=H$

(a)에 대한 알고리즘 :

나는 약간의 변형으로 [ 1 ] 의 알고리즘을 따릅니다 . 속한 경우에만, 모두 보여줄 충분히 직선으로되지만 위한 각 생성기 . 지수 측면에서 문자를 확장하면 (여기서 순환 인수 분해를 암시 적으로 사용함)이 조건은 이 방정식을 풀려면 유클리드 알고리즘과 숫자를 사용한 $g$ $H^{\perp}$ $\chi_{g}(h)=1$ $h\in H$ $\chi_{b}(h_i)=1$ $H$

\begin{array}{rcl} \exp {2 π i (\frac{g (1) h_{i} (1)}{d_{1}} + \dots + \frac{g (m) h_{i} (m)}{d_{m}})} = 1 \end{array}

$\begin{eqnarray} \exp \left\lbrace 2\pi i \left( \frac{g(1)h_{i}(1)}{d_1}+\ldots + \frac{g(m) h_{i}(m)}{d_m} \right) \right\rbrace=1 \end{eqnarray}$

M := lcm (N_{1}, \dots, N_{d})

$M:= \text{lcm}(N_1,\ldots,N_d)$

α_{i} := M / d_{i}

$\alpha_i:=M/d_i$ . 모든 대한 위의 조건 을 선형 모듈 식 방정식의 시스템으로 다시 작성할 수 있습니다 .

i

$i$

(\begin{matrix} α_{1} h_{1} (1) & α_{2} h_{1} (2) & \dots & α_{m} h_{1} (m) \\ α_{1} h_{2} (1) & α_{2} h_{2} (2) & \dots & α_{m} h_{2} (m) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ α_{1} h_{n} (1) & α_{2} h_{n} (2) & \dots & α_{m} h_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} g (1) \\ g (2) \\ ⋮ \\ g (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) \begin{matrix} \mod M \\ \mod M \\ ⋮ \\ \mod M \end{matrix}

$\begin{pmatrix} \alpha_1 h_1(1) & \alpha_2 h_1(2) & \ldots & \alpha_m h_1(m)\\ \alpha_1 h_2(1) & \alpha_2 h_2(2) & \ldots & \alpha_m h_2(m)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ \alpha_1 h_n(1) & \alpha_2 h_n(2) & \ldots & \alpha_m h_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g(1)\\ g(2)\\ \vdots\\ g(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod M\\ \mod M\\ \vdots\\ \mod M \end{matrix}$ 1 에서 입증 랜덤 솔루션을 샘플링하면 1 로 입증됩니다 우리는 확률 적으로 하나의 가까운 확률 로 의 생성 집합을 얻을 것 입니다.

t + ⌈ \log | G | ⌉

$t+\lceil\log|G|\rceil$

H^{⊥}

$H^{\perp}$

p \geq 1 - 1 / 2^{t}

$p\geq 1 -1/2^{t}$

A X = 0 (\mod M)

$AX=0 \pmod M$ . 여기서 는 정수 모듈로 대한 직사각형 행렬로 , 2에 주어진 알고리즘 으로 Smith의 정규 분해를 효율적으로 계산할 수 있습니다. 이 알고리즘은 대각선 행렬 와 되도록 두 개의 뒤집을 수없는 행렬 , 반환합니다 . 방정식의 시스템으로 기록 될 수 공식 사용 과 . 이제 유클리드 알고리즘을 사용하여 해를 랜덤하게 계산할 수 있습니다. 이는 형식의 방정식 시스템이기 때문 입니다. 마지막으로, 계산

A

$A$

M

$M$

D

$D$

U

$U$

V

$V$

D = U A V

$D=UAV$

D Y = 0 (\mod M)

$DY=0 \pmod M$

X = V Y

$X=VY$

D Y = 0 (\mod M)

$DY=0\pmod M$

d_{i} y_{i} = 0 (\mod M)

$d_i y_i =0 \pmod M$

X = V Y

$X=VY$ 원하는대로 직교 그룹 의 랜덤 요소를 얻는다 .

H^{⊥}

$H^{\perp}$

(b) 알고리즘 :

의 생성 세트를 계산하는 방법을 이미 알고 있으므로 주어진 요소 가 속 하는지 쉽게 확인할 수 있습니다. 먼저 생성 세트 of . 그런 다음 정의에 따라 는 의 모든 생성기에 대해 경우에만 속합니다 . 그것들의 O (폴리 로그 ( )) 수가 있고 이것은 모듈 식 산술을 사용하여 효율적으로 수행 될 수 있기 때문에 우리는 행해진 다. $H^{\perp}$ $b$ $H$ $\langle g_1,\ldots, g_s \rangle$ $H^{\perp}$ $b$ $H$ $\chi_{b}(g_i)=1$ $H^{\perp}$ $|G|$

— 후안 베르 메호 베가
소스

그 사이에 발견 한 경우 자신의 답변을 추가하는 것이 좋습니다. 그러나 어떤 답변을 수락할지 결정하기 전에 (의견에 따라) 추가 조사를 수행해야 할 것 같습니다.

— Suresh Venkat

감사. 우리가 모든 것을 하나의 그림에 넣었는지 확인하기 위해 토론을 계속하고 싶습니다. 또한 팝업 할 수있는보다 실용적인 알고리즘이있을 수 있다고 생각합니다.

— Juan Bermejo Vega