Metric TSP의 근사 알고리즘

메트릭 TSP는 내에서 근사 될 수 있으며 다항식 시간에서 보다 근사 할 수는 없습니다 . 지수 시간에 (예를 들어, 이하 근사 솔루션을 찾는 것에 대해 아무것도 알려져있다 만 다항식 공간 단계)? 예를 들어 어떤 시간과 공간에서 거리가 최대 인 투어를 찾을 수 있습니까?$1.5$$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

문제를 연구했으며 TSP에 가장 잘 알려진 알고리즘을 찾았습니다.

$n$ 은 꼭짓점의 수이고, 은 최대 간선 가중치입니다. 모든 범위는 입력 크기의 다항식 계수 ( )까지 제공됩니다. ATSP로 비대칭 TSP를 나타냅니다.$M$$poly(n, \log M)$

1. TSP를위한 정확한 알고리즘

1.1. 일반 ATSP

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$ 시간 및 공간 ( Björklund ).$exp$

$2^n$ 시간과 공간 ( Bellman ; Held, Karp ).$2^n$

$4^n n^{\log n}$ 시간과 스페이스 ( Gurevich, Shelah ; Björklund, Husfeldt ).$poly$

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ 대한 시간 및 공간 ( Koivisto, Parviainen ).$2^t$$t=n,n/2,n/4,\ldots$

$O^*(T^n)$ 시간 에 대한 모든 공간 와 ( Koivisto, Parviainen ).$O^*(S^n)$$\sqrt2<S<2$$TS<4$

$2^n\times M$ 시간 및 폴리 스페이스 ( Lokshtanov, Nederlof ).

$2^n\times M$ 시간과 공간 ( Kohn, Gottlieb, Kohn ; Karp ; Bax, Franklin ).$M$

Metric TSP의 경우에도 위 알고리즘보다 더 나은 것은 없습니다. 다항식 공간을 갖는 TSP 를위한 시간 알고리즘 을 개발하는 것은 큰 도전입니다 (Open Problem 2.2.b, Woeginger 참조 ).$2^n$

1.2. TSP의 특수 사례

$1.657^n\times M$ TSP에 대한 시간 및 기하 급수적으로 작은 오차 확률 ( Björklund ).

$(2-\epsilon)^n$ 및 경계 평균도를 갖는 그래프에서 TSP의 지수 공간, 은 그래프의 정도에만 의존합니다 ( Cygan, Pilipczuk ; Björklund, Kaski, Koutis ).$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$ 및 최대 한계와 제한된 정수 가중치가있는 그래프에서 TSP의 스페이스는 은 그래프의 정도 ( Björklund, Husfeldt, Kaski, Koivisto ) 에만 의존합니다 .$poly$$\epsilon$

$1.251^n$3 차 그래프에서 TSP에 대한 및 ( 나카시마 이와 마 ).$poly$

$1.890^n$도 그래프에서 TSP에 대한 및 -스페이스 ( Eppstein ).$poly$$4$

$1.733^n$도 그래프에서 및 TSP의 지수 공간 ( Gebauer ).$4$

$1.657^n$ Hamiltomian주기 ( Björklund )의 시간과$poly$

$(2-\epsilon)^n$ 및 최대 해밀턴 사이클 (임의의 )에 대해 그래프에서 TSP의 지수 공간 ( Björklund, Kaski, Koutis ).$d^n$$d$

2. TSP에 대한 근사 알고리즘

2.1. 일반 TSP

P = NP ( Sahni, Gonzalez )가 아니면 다항식 시간 계산 가능 함수 내에서 근사 할 수 없습니다 .

2.2. 메트릭 TSP

$3 \over 2$ 근사치 ( Christofides ).

P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied )가 아니면 보다 나은 비율로 근사 할 수 없습니다 .$123\over 122$

2.3. 그래픽 TSP

$7\over5$ 근사치 ( Sebo, Vygen ).

2.4. (1,2) -TSP

MAX-SNP hard ( Papadimitriou, Yannakakis ).

$8 \over 7$ 근사치 ( Berman, Karpinski ).

2.5. 경계 차원이있는 메트릭의 TSP

고정 차원 유클리드 공간에서 TSP에 대한 PTAS ( Arora ; Mitchell ).

TSP는 차원 유클리드 공간 ( Trevisan ) 에서 APX 하드입니다 .$\log{n}$

경계가 배가되는 차원이있는 메트릭의 TSP에 대한 PTAS ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer ).

2.6. 지시 된 삼각형 부등식이있는 ATSP

$O(1)$ 근사값 ( Svensson, Tarnawski, Végh )

P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied )가 아니면 보다 나은 비율로 근사 할 수 없습니다 .$75\over 74$

2.7. 금지 된 마이너가있는 그래프의 TSP

평면 그래프에서 TSP에 대한 선형 시간 PTAS ( 클라인 ).

마이너 프리 그래프에 대한 PTAS ( Demaine, Hajiaghayi, Kawarabayashi ).

$22\frac{1}{2}$ 평면 그래프에서 ATSP의 근사치 ( Gharan, Saberi ).

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$ genus-에 대한 ATSP -approximation 그래프 ( 에릭슨 Sidiropoulos ).$g$

2.8. MAX-TSP

$7\over9$MAX-TSP에 대한 근사치 ( Paluch, Mucha, Madry ).

$7\over8$MAX-Metric-TSP에 대한 근사치 ( Kowalik, Mucha ).

$3\over4$MAX-ATSP ( Paluch )에 대한 근사치 .

$35\over44$MAX-Metric-ATSP에 대한 -over44- Kowalik, Mucha .

2.9. 지수 시간 근사치

대한 지수 공간을 사용하여 시간에 MIN-Metric-TSP에 대한 근사값 을 계산할 수 있습니다. 또는 시간 대한 다항식 공간 ( Boria, Bourgeois, Escoffier, Paschos) ).$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

추가 및 제안에 감사드립니다.

"근사 된 "버전의 Held 및 Karp의 정확한 알고리즘 을 조정하여 시간 (및 공간) 에서 1.1 근사값을 얻을 수 있습니다 . 여기서 은 위치 수입니다. 더 일반적으로, 근사값은 모든 대해 시간 에서 찾을 수 있습니다 . 이것은 :O * ( 2 N ) , N ( 1 + ε ) O * ( 2 ( 1 - ε / 2 ) N ) ε ≤ 2 /$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

니콜라스 보리 아, 니콜라스 부 기아, 브루노 에스 코피에, 반젤리스 Paschos : 일부 그래프 문제에 대한 지수 근사 스키마. 온라인으로 제공됩니다 .

근사 대한 하한 및 상한 및 현재 가있는 문제에 대해서도 비슷한 질문을 할 수 있습니다 . 질문자가 하위 지수 시간 알고리즘에 관심이 있다고 가정합니다. 이것은 알려지지 않은 "진실"에 달려 있습니다. 문제가 간격 [ 에있는 요소 내에서 근사하는 NP-Hard라고 가정하십시오 . 이것이 의미하는 것은 SAT에서 문제로 축소되어 -approximation 보다 SAT에 대한 답을 결정할 수 있다는 것입니다. SAT에 대한 지수 시간 가설을 믿는다면 감소의 효율성은 줄 것입니다β α < β γ α , β ] γ θ γ 2 n O ( θ )$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$ 보다 작은 시간에 이하로 근사 할 수 없습니다 . 그러나 보다 나쁜 것은 다항식 시간에 가능합니다. 이것이 의미하는 바는 일반적으로$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(최소 상수 계수 범위에서) 하위 지수 시간이 주어 졌을 때에도 근사 비율이 개선되는 것을 볼 수 있습니다. 알려진 최고의 경도 결과가 SAT로부터의 비효율적 인 감소를 통해 발생하는 몇 가지 문제가있다. 즉, 경도 결과는 준 다항식 시간에 포함되지 않은 NP와 같은 약한 가정하에있다. 이러한 경우 하위 지수 시간에서 더 나은 근사값을 얻을 수 있습니다. 내가 아는 유일한 것은 Steiner 그룹 문제입니다. 최근 유명한 결과는 독특한 게임을위한 하위 지수 시간 알고리즘에 관한 Arora-Barak-Steurer의 결과입니다.이 결과에서 도출 한 결론은 UGC가 참이면 SAT에서 UGC 로의 감소는 비효율적 인, 즉, SAT 공식으로부터 얻어진 UGC 인스턴스의 크기는 특정 방식으로 파라미터와 함께 커져야한다.

가중 경계 속 그래프에 가장 적합한 tsp는 http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/ 입니다.