스파 스 입력에서 컴퓨팅 기능의 모노톤 회로 복잡성

무게이진 문자열 중 은 문자열에있는 숫자의 수입니다. 입력이 거의없는 입력에서 모노톤 기능을 계산하려면 어떻게해야합니까? $|x|$ $x\in\{0,1\}^n$

그래프에 크릭이 있는지 결정하는 것이 모노톤 회로에서는 어렵다는 것을 알고 있지만 (Alon Boppana, 1987 참조) 그래프에 예를 들어 최대 에지가 있으면 다음과 같은 모노톤 경계 깊이 회로를 찾을 수 있습니다 크기 은 -clique 를 결정 합니다. $k$ $k^3$ $f(k)\cdot n^{O(1)}$ $k$

내 질문 : 보다 작은 무게의 입력에서도 모노톤 회로로 계산하기 어려운 기능이 있습니까? 여기서 하드는 회로 크기 합니다. $k$ $n^{{k}^{\Omega(1)}}$

더 나은 : 가중치 및 입력 만 신경 더라도 계산하기 어려운 명시 적 톤 함수가 있습니까? $k_1$ $k_2$

에밀 예라 벡은 이미 알려진 하한은 (입력의 두 클래스 분리 모노톤 회로에 개최 관찰 최대 대 -cliques을 이 그것을 만들 수있는 확률 인수의 일부 독립의 비용 따라서, -colorable 그래프) 고정 중량 입력의 두 가지 클래스에 대해 작업하십시오. 이것은 가 피하고 싶은 의 함수가되도록합니다 . $a$ $(a-1)$ $k_2$ $n$

실제로 매개 변수화 된 복잡성 프레임 워크에서 와 및 대해 보다 훨씬 작은 명시 적 하드 함수가 에 . 이면 더 좋습니다 . $k_1$ $k_2$ $n$ $k_1=k_2+1$

대한 긍정적 인 대답 은 임의의 회로에 대한 지수 하한을 의미합니다. $k_1=k_2$

업데이트 : 이 질문 은 부분적으로 관련 이 있을 수 있습니다.

— 마시모
소스

첫 번째 (일반적인) 질문에 (Clique가 아님). 최대 입력을 가진 입력의 경우조차 매우 어렵다고 생각합니다. 이분 그래프 를 가져옵니다 . 각 정점 에 부울 변수 할당하십시오 . 를 의 모서리 에 대한 최소값이 인 모노톤 부울 함수라고 하자 . 하자 정확하게 계산하는 단조 회로의 최소 크기 함께 입력에 것. 그런 다음 상수에 대한 하한

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$ 은 비 모노톤 회로에 대한 지수 하한을 의미합니다 .

— Stasys

모노톤 회로에 대한 기존의 주장은 많은 ( ) 입력을 가진 많은 입력을 거부 해야합니다 . 우리가 지금 할 수있는 최선은 회로가 모든 clique를 받아 들여야 할 때 하한을 증명하고 모든 완성 -partite 그래프를 거부 것입니다. ( ). 중요한 것은 밀도 가 높은 입력이 아니라 스파 스 를 다루는 것입니다 . 말은, -Clique 대해 크기 모노톤 회로를 필요 모든 상수 하지만 -Clique 크기의 모노톤 회로 갖는다 에 대한 각을

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$ 상수 .

k

$k$

— Stasys

희소 그래프의 의미에서 희소 입력에 관심이 있음을 분명히해야합니다. 매우 희소 그래프 ( 가장자리) 에서 clique를 찾으 려면 FPT 모노톤 회로 크기로 수행 할 수 있습니다.

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— MassimoLauria

첫 번째 주석의 예가 매우 좋습니다. 올바르게 이해하면 고정 중량 에서 어려운 단조 함수와 비슷한 문제입니다 . 의사 보완 기능을 사용하여 부정 입력을 시뮬레이션하면 회로 복잡도는 모노톤과 비 모노톤의 경우에 차이가 없습니다. 일정한 (또는 작은) 이 의사 보체는 모노톤 회로에 의해 효율적으로 구현 될 수있다.

k

$k$

k

$k$

— MassimoLauria

내 첫 번째 의견은 그래프 복잡성에 의존했습니다. " "현상은이 초안의 13 페이지에서 찾을 수 있습니다 . Btw 나는 "k와 k + 1에 대해 어렵다"는 것이 무슨 뜻인지 이해하지 못했습니까? (물론 내 잘못입니다.)

(2 + c) n

$(2+c)n$

— Stasys

특히 질문의 한 부분 (예 : = 1, = 2)을 고려할 때 Lokam은 본 백서에서 "2- 슬라이스"기능을 연구하고 그에 대한 하한을 일반화 할 수 있음을 증명하므로 매우 어려운 개방적 문제입니다. 기본 복잡성 클래스 분리 및 이와 같은 구성 / 명시 적 기능과 관련된 돌파구가 될 수 있습니다. 초록에서 : $k_1$ $k_2$

부울 함수 f는 2보다 작은 입력에서 0으로 평가되고 2보다 큰 입력에서 1로 평가되는 경우 2- 슬라이스 함수라고합니다. 정확히 두 개의 1을 가진 입력에서 f는 사소하게 정의 될 수 있습니다. 2- 슬라이스 함수와 그래프는 자연스럽게 일치합니다. 그래프 복잡성의 프레임 워크를 사용하여, 우리는 2- 슬라이스 함수의 매우 특별한 클래스에 대해 충분히 강한 초 선형 모노톤 하한이 그로부터 도출 된 특정 함수에 대한 완전한 기준에 대해 초 다항식 하한을 암시한다는 것을 보여줍니다.

그래프 복잡성과 슬라이스 함수 / Satyanarayana V. Lokam, 이론 계산 시스템 36, 71–88 (2003)

또한 그의 의견 에서처럼 SJ는 그의 책에서 이와 유사한 사례를 sec1.7.2 그래프의 스타 복잡성 탐구 섹션에서 다룬다.

부울 함수 복잡성 : 진보와 개척자 , Stasys Jukna

— vzn
소스