무차별 곡선

소비자가 연속성의 합리적 공리를 따르는 경우 (즉, 선호도에서 점프하지 않음), 유틸리티 기능의 무차별 곡선은 얇다 고합니다.

연속성 ( 이 )이 무차별 곡선을 의미하는 이유는 무엇 입니까?$x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

연속성만으로는 무차별 곡선이 얇다 고 보장 할 수 없다고 생각합니다.

선택 세트의 및 에 대해 소비자가 와 사이에 무관 한 환경 설정을 고려하십시오 . 전체 선택 세트가 단일 무차별 곡선에 있기 때문에 두꺼운 무차별 곡선의 정의에 맞는 것처럼 보입니다!$x$$y$$x$$y$

그러나 이러한 기본 설정은 연속성의 정의를 만족시킵니다.

따라서 연속성이 다른 가정과 쌍을 이루는 경우 얇은 무차별 곡선 만 암시하는 것처럼 보입니다.

우선, 나는 그 질문이 잘못 언급되었다고 생각합니다. 무차별 곡선의 정의가 소비자 선호도의 연속성이 얇은 무차별 곡선을 암시하는 정도라면, 연속성은 얇은 무차별 곡선을 의미합니다. 이것은 귀하의 질문에 대한 답입니다.

그러나 얇은 무차별 곡선을 적절히 정의하려면 먼저 는 두꺼운 무차별 곡선이라고합니다. 여기서 는 가능한 번들 세트 및 여기서 나타내고 무관심하는 존재마다 와 이되도록 을 의미한다 , 여기서 은 주위의 일부 엡실론 이웃입니다 . 두 번째로 는 얇은

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$$q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$무차별 곡선이 두껍지 않은 경우. 구어체 적으로 이것은 두꺼운 무차별 곡선 에 약간의 충돌이 있지만 얇은 무차별 곡선에는 그러한 범프가 없음을 의미합니다.$[q]$

본질적으로, 위는 기대되는 유용성 에 대한 기하학적 접근 의 짧은 설명이다 (Chatterjee & Krishna, 2006) . 얇은 무차별 곡선의 위 정의를 사용하여 그들은 Lemma 2.3에서 (i) 연속성과 (ii) 독립성이 얇은 무차별 곡선을 암시한다는 것을 보여준다 (연속성만으로는 얇은 무차별 곡선을 암시한다는 것을 보여주지 않는다는 점을 주목하라); 유비쿼터스의 답변) . 그들의 정의는 다음 두 가지 토폴로지 개념에 의존합니다.

1. 연속성의 가정. 모든 부분 집합 와 의 , 열려있는; 여기서 열린 세트는 세트의 각 지점에 해당 세트에있는 이웃이있는 세트입니다. 따라서이 연속성 개념은 귀하와 유사합니다.$\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. 독립의 가정. 모든 에 대해 및 은 이것은 멋진 대수를 허용합니다.$p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

이제 그들이 Lemma 2.3에서 보여주는 것은 본질적으로 무차별 곡선이 있고 주위의 이웃 을 고려 하면 은 임의로 작은 대해 를 의미하지 않습니다 . 즉, 작지만 엡실론 이웃은 없기 때문에 번들과 사이에 무관 한 번들 만 포함 합니다. 대신, 모든 엡실론 이웃은 보다 엄격하게 선호되는 점을 포함 합니다.$[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$$q'$$q'$

지속적인 효용 함수의 경우, 예를 들어 는 (Lebesgue) 측정 값이 0입니다 (cf. 의 연속 곡선 이미지를 증명하는 방법 측정 가지고 ? )$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$