유틸리티 기능면에서 균질 함.

질문

내 해결책은 다음과 같습니다. 내 솔루션을 확인하십시오. 내가 실수하면 알려주세요. 내 솔루션에 대해 잘 모르겠습니다. 감사합니다

U (x)는 1 도의 균질하다. 즉 u (tx) = tu (x)

먼저 간접 유틸리티 함수가 m에서 1의 균질 함을 보여줍니다.

유틸리티 최대화로

px $\le$ m에 따라 V (p, m) = max u (x)

tv $\le$ m에 따라 tv (p, m) = max tu (x)

u (tx) = tu (x)이므로, tv $\le$ m에 따라 tv (p, m) = max u (tx)

그런 다음 v (p, tm) = tv (p, m)

즉, 간접 유틸리티 기능은 1 도의 동질입니다.

이전 결과를 사용하여 지출 함수가 u에서 1의 균질 함을 보여줍니다.

알아

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

u (x)는 1 도의 균질하고 v (p, m)은 m의 1도 균질하므로, v (p, e (p, u))는 e (p, u)의 1도 균질해야합니다 .

즉, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u))는 iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

즉, 고가의 함수 e (p, u)는 u에서 1의 균질하다.

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이제 마살 리아의 수요 x (p, m)이 m에서 1의 균질 함을 보여줄 것이다.

Roy의 정체성으로

$$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$$

첫 번째 결과로, v (p, m)은 m에서 1의 균질하므로 x (p, m)은 m에서 1의 균질입니다.

이제 hicksian 수요가 u에서 1의 균질 함을 보여줍니다.

알아

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

e (p, u)는 두 번째 부분마다 1 도의 균질하므로,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, 항등 (1)이 존재하므로 u (x))는 유지해야합니다.

즉, hicksian 수요는 u에서 1의 균질입니다.

당신이 보여주는 방법 학위 하나의 균질 정확하지만 이유는 이유는, 의미 학위 하나의 균질 아닌 인수에 매우 정확, . 예를 들어, 이원성은 알려줍니다 여기서 는 대상 유틸리티 수준이지만 증명 에서처럼 되어서는 안됩니다 .$v(p,m)$$m$$e(p,u)$$u$

$$v(p,e(p,u))=u,$$ $u$$u(x)$

여기서 진행 한 가지 가능한 방법은 : 때문에 학위 하나의 균질 , 그것과 같이 쓸 수있다 항등 하면 이는 가 동종 임을 분명히 나타냅니다. 에서 학위 1의 . 유사한 주장을 사용하여 Hicksian 수요의 동질성을 증명할 수 있습니다.$v(p,m)$$m$

$$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$$ $v(p,e(p,u))=u$ $$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$$ $e(p,u)$$u$

모든 말로, 지출 기능과 Hicksian 수요의 정의를 사용하여 원래의 진술을 직접 증명할 것을 제안합니다. 예를 들어,

$$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$$