Kuhn-Tucker 조건의 최적화 문제

각 플레이어 에 선호도가 인 두 명의 플레이어가있는 게임을 생각해보십시오. 여기서 는 소비이고 는 사회적 상호 작용입니다. 주어진다 여기서 선수 소요되는 시간 혼자 시간 플레이어 선수로 보낸다 . 플레이어 는 자신의 시간 가 일과 시간, 및 사회적 상호 작용 사이에 할당 할 시간을 결정해야합니다.$i=1,2$$u_i=s_i^a c_i^{1−a}$$c_i$$s_i$$s_i$$s_i=t_i+t_{ij}\times t_{ji}$$t_i$$i$$t_{ij}$$i$$j$$i$$T$$t_i$$t_{ij}$. 각 시간 동안, 플레이어 일하고, 임금 받고 있다고 가정하고 소비재 의 가격이 정규화 되었다고 가정하자 .$i$$w$$c_i$$p=1$

플레이어 1에 대한 최적화 문제를 신중하게 정의하십시오. Kuhn-Tucker 조건을 기록하고 이러한 조건에 대해 논의하십시오. 플레이어 1이 왜 전략적인 상황에 직면했는지 설명하십시오. 플레이어 1과 2에 가장 적합한 함수를 찾으십시오.이 함수들을 그래프로 나타내십시오.

내 해결책 :

$L = s_i^a c_i^{1-a} - \lambda(c_i + s_i - (T-s_i)w) + \mu (c_i + s_i - T)$

FOC :

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = c_i + s_i - (T - s_i)w = 0$

$\frac{\partial L}{\partial s_i} = a s_i^{a-1} c_i^{1-a} - \lambda(1+w) +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial c_i} = (1-a) s_i^a c_i^{-a} - \lambda +\mu = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \mu} = c_i + s_i - T = 0$

이 절차를 따르면 해결책을 찾을 수 없습니다. 당신의 아이디어를 나와 공유하십시오.

내가 얻는 해결 :

Player 의 유틸리티 최대화 문제는 다음과 같습니다.$1$

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ \left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right)^a \left(w(T-t_{12})\right)^{1-a}$$

위의 문제를 해결하는 동등한 방법 은 목표 의 를 최대화 하는 것입니다. 즉, 해결할 수 있습니다$\log$

$$\max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ a\ln\left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right) +(1-a)\ln \left(w\right) + (1-a)\ln \left(T-t_{12}\right)$$

그것을 해결함으로써 우리는 플레이어 1의 최고의 응답 기능을 얻습니다.

$$\begin{eqnarray*} t_{12} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{21} \leq\frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{21}-1)}{(t_{21}-1)} & \text{if } t_{21} > \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}$$

마찬가지로 플레이어 2의 최상의 응답 기능은

$$\begin{eqnarray*} t_{21} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{12} \leq \frac{1}{a} \\ \frac{T(at_{12}-1)}{(t_{12}-1)} & \text{if } t_{12} \geq \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*}$$

이제 당신은 내쉬 평형을 얻기 위해 최고의 반응을 풀 수 있습니다.