한계 효용의 감소에 대해 언제 안전하게 이야기 할 수 있는가?

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내가 많이 듣는 것 중 하나는 한계 효용이 감소한다는 이야기입니다. 즉, 재화의 추가 단위가 이미 그 재화의 단위가 많을수록 점차 매력적이지 않을 것이라는 생각입니다.

그러나 이것은 유틸리티의 서수 때문에 항상 조금 불편했습니다. 만족하는 (한계 유틸리티 감소 만족하는 하나의 상품 만있는 세상의 사소한 사례를 취하면 분명히 구성 할 수 있습니다 증가 함수 등은 선형이며 . 또한, 사람 유틸리티 함수가 단조 증가 변환에 불변 동일한 설정을 나타내는 유틸리티 함수 (그러나 지금은 일정한 한계 효용을 갖는다). 따라서 단일 재화가있는 세계에서는 한계 효용 감소에 대해 이야기하는 것이 결코 의미가없는 것 같습니다. $u(x)$ $u'(x),\ u''(x)<0$ $f$ $(f\circ u)$ $x$ $(f\circ u)$ $u$

나의 질문은 이것이다 : $L>1$ 상품을 가진 시장을 고려하십시오 . 한계 효용 감소에 관해 안전하게 이야기 할 수있는 공식적인 조건이 있습니까? 즉, 모든 유효한 유틸리티 표현 $u(\mathbf{x})$ 이 일부 대해 $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ 을 갖도록 기본 설정 클래스가 있습니까? $i$

또는 $L>1$ 경우 일부 대해 $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ 으로 유틸리티 표현이 존재한다는 것은 모든 증거가 ? $i$ $u_{ii}(\mathbf{x})<0$

— 유비쿼터스
소스

Dittmer (2005) 는 이에 대해 자세히 설명합니다. 입문 단계에서 우리는 학생들에게 "DMU (diminishing marginal utility)"라는 것이 있는데, 이는 유틸리티가 기본 개념이라는 것을 수반합니다. 그런 다음 중급 및 대학원 수준에서 유틸리티는 갑자기 DMU와 같은 것을 가질 수없는 서수 개념이됩니다. 따라서 소개에서 중간 수준으로 갈 때 큰 불일치가 있습니다. 이러한 불일치는 일반적으로 대부분의 학생들에게 눈에 띄지 않으므로 교사는 설명하지 않습니다.

— Kenny LJ

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(따라서 이러한 감소) "한계 효용"의 개념은 전용의 문맥에서 의미가 기본적인 유틸리티.

단일 상품에 서수 유틸리티 인덱스 있고 인이 상품의 수량이 있다고 가정합니다 . 기본 설정은 올바르게 작동하며 벤치 마크 규칙 조건을 충족하므로 $u()$ $q_1<q_2<q_3$ $q_2-q_1 = q_3-q_2$

u (q_{1}) < u (q_{2}) < u (q_{3})

$u(q_1)< u(q_2) < u(q_3)$

이것은 서수 유틸리티입니다. 거리가 아닌 순위 만 의미가 있습니다. 따라서 거리 및 는 행동 / 경제적 해석이 없습니다 . 그렇지 않은 경우 비율도 $u(q_2) - u(q_1)$ $u(q_3) - u(q_2)$

\frac{유 (큐_{2}) - 유 (큐_{1})}{큐_{2} - 큐_{1}}, \frac{유 (큐_{삼}) - 유 (큐_{2})}{큐_{삼} - 큐_{2}}

$\frac {u(q_2) - u(q_1)}{q_2-q_1},\;\; \frac {u(q_3) - u(q_2)}{q_3-q_2}$

그러나 분모가 0이 될 때 이러한 비율의 한계는 함수 의 미분의 정의입니다 . 따라서 미분에는 경제 / 행동 해석이 없으므로 미분 함수의 두 사례를 비교하면 의미있는 내용이 생성되지 않습니다. $u()$

물론 이것은 의 미분이 수학적 개념으로 존재 하지 않는다는 것을 의미하지는 않습니다 . 가 미분에 필요한 조건을 만족하는 경우 존재할 수 있습니다 . 따라서 서수 유틸리티를 나타내는 함수가 음의 이차 미분을 갖는 조건 (또는 다변량의 경우 음의 명확한 Hessian)을 갖는 순수 수학적인 질문 을 할 수 있습니다. 그러나 모델에서 어떤 역할을 수행 할 수있는 수학적 속성 일뿐입니다. $u()$ $u()$

그러한 경우에, 우리는 다음을 알고있다 :
1) 선호가 볼록한 경우, 유틸리티 인덱스는 준 오목 함수이다.
2) 선호도가 엄격하게 볼록한 경우, 유틸리티 인덱스는 엄격히 준 오목하다

그러나 준 오목은 오목과 다른 종류의 속성입니다 . 준 오목은 함수의 변형이 증가함에 따라 보존된다는 점에서 "기본"속성입니다.

다른 한편으로, 오목 함은 변화가 증가함에 따라 반드시 보존 될 필요가 없다는 의미에서 "추기경"속성이다.
이것이 무엇을 의미하는지 생각해 우리가 그들에 의해 표현 될 수있는 환경 등의 특성 찾을 수 있다고 가정 함수로 오목 유틸리티 인덱스를. 그런 다음이 유틸리티 인덱스의 증가하는 변환을 찾아 구현하여 오목 성 속성을 제거 할 수 있습니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

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"안전"에 대해 묻는 사실은 일부 결과가 위험에 처해 있다고 생각한다는 것을 의미합니다. 생각할 수있는 결과를 지정할 수 있으면이 답변을 개선 할 수 있습니다. 그렇지 않으면, 첫 번째와 두 번째 복지 정리를 예로 들어 보자. 그들은 한계 효용의 감소에 의존하지 않는다.

불확실성에 대한 선호도에 대한 결과 (위험 회피 등의 아이디어)에 대해 우려하는 경우, 불확실성이없는 선호도의 표준 유틸리티 함수 표시는 양의 단조 변환까지 고유하지만 Von Neumann-Morgenstern 유틸리티 함수 표시는 불확실성에 대한 선호는 긍정적 인 아핀 변환 까지만 독특하다 .

편집 : 추가 메모.

유틸리티 함수의 정의는 다음과 같이 제공됩니다 ( 2011 년 Jehle and Reny의 Advanced Microeconomic Theory ). 여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— 젬 베라
소스