소비 기반 자산 가격의 로그 정규성 가정

CRRA 유틸리티의 매우 기본적인 이산 시간 대표 소비자 최대화 문제를 고려하십시오. 시간이 지남에 위험한 자산이 있습니다 $t$ 가격 $p_t$ 그 시간을 지불 $t+1$ 피제수 $d_{t+1}$ 가격이 책정 된 위험 자산 $p_t^f$ 그에 일정한 보수 1을 지불 $t+1$ . 배당은 Markov 프로세스를 따르는 임의의 변수 시퀀스라고 가정합니다. 소비자가 다른 수입원을 가지고 있지 않다고 가정하자 (즉, $y_t = 0 \ \forall t$ ). 시간 t 소비자가 금액을 투자 $\pi_t$ 위험한 자산과 금액 $\pi_t^0$ 위험이없는 자산에서. 따라서 최대화 문제는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

\begin{aligned} \underset{{씨_{티}, π}_{0}^{\infty}}{최대} {이자형}_{0} \sum_{티 = 0}^{\infty} β^{티} \frac{씨_{티}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ 에스 . 티 & 씨_{티} + π_{티} 피_{티} + π_{티}^{0} 피_{티}^{0} = (디_{티} + 피_{티}) π_{티 - 1} + π_{티 - 1}^{0} \\ 씨_{티} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

평형 위험이없는 비율과 예상 주식 프리미엄을 찾고 싶다고 가정 해 봅시다. 모델을 폐쇄하기 위해 종종 로그 소비 증가율과 로그 위험 총 수익률이 공동으로 분배 된다고 가정합니다 (예 : Claus Munk의 책 금융 자산 가격 이론 제 8.3 장 참조). 즉

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

총 수익은 다음과 같이 정의됩니다.

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

내가 완전히 이해하지 못하는 것은 로그 정규 분포 가정이 어디에서 오는가입니다. 나는 이것이 대표 에이전트 경제이기 때문에 에이전트의 소비는 경제의 총 배당금과 같아야한다는 것을 알고 있습니다. 하지만 수입이 없다고 가정했기 때문에 $y_t = 0 \ \forall t$ 경제에서 유일하게 외생 배당 프로세스는 $d_t$ 따라서 소비 증가율과 동일한 분포를 가져야합니다. 그러나 필자는 위험률이 로그 정규 분포를 가지고 있다고 말할 때 이것이 실제로 배당 프로세스를 의미한다고 생각합니다. $p_{t+1}$ 외인성이 아니라 모델 내에서 결정됩니다). 나에게 우리는 동일한 엔 다우먼트 프로세스에 대해 두 가지 다른 가정을 한 것으로 보입니다. $d_t$ . 소비에 대한 가정은 어디에서 왔거나 무엇을 의미합니까? 소비자가 소득원을 가지고 있다면 상황은 어떻게 변할 것인가 $y_t > 0$ ?

macroeconomics consumer-theory asset-pricing

— vvv
소스

답변:

전형적인 2주기 라그랑지안은

Λ = β^{티} \cdot (\frac{씨_{티}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{티} \cdot [(디_{티} + 피_{티}) π_{티 - 1} + π_{티 - 1}^{0} - 씨_{티} - π_{티} 피_{티} - π_{티}^{0} 피_{티}^{0}]) + β^{티 + 1} \cdot (\frac{씨_{티 + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{티 + 1} \cdot [(디_{티 + 1} + 피_{티 + 1}) π_{티} + π_{티}^{0} - 씨_{티 + 1} - π_{티 + 1} 피_{티 + 1} - π_{티 + 1}^{0} 피_{티 + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

에 관한 첫 주문 조건 $c_t, \pi_t$ 아르

\begin{matrix} (1) & 씨_{티}^{- γ} = λ_{티} ⟹ . . . γ \ln \frac{씨_{티 + 1}}{씨_{티}} = \ln \frac{λ_{티}}{λ_{티 + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{티} λ_{티} 피_{티} + β^{티 + 1} λ_{티 + 1} (디_{티 + 1} + 피_{티 + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{티}}{λ_{티 + 1}} = β \frac{피_{티 + 1} + 디_{티 + 1}}{피_{티}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

따라서 총 수익의 정의를 사용하여

\begin{matrix} (삼) & \ln \frac{λ_{티}}{λ_{티 + 1}} = \ln β + \ln {아르 자형}_{티 + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

결합 $(1)$ 과 $(3)$ 우리는 얻는다

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{씨_{티 + 1}}{씨_{티}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln {아르 자형}_{티 + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

따라서 최적의 경로에서 소비 증가는 로그 리스크 수익률의 직접적인 아핀 함수라는 것을 알 수 있습니다. 이것은 무엇보다도 상관 계수가 1과 같다는 것을 의미합니다.

정규 분포 그래서, 아핀 변환 (또는, 스케일링 아래 및 이동)에서 닫혀 있는 경우 우리가 로그 위험 수익률이 정규 분포를 가정하고 소비 증가는 일반적으로 (다른 평균과 과정의 차이로) 배포됩니다.

일반적으로 조인트 정규성 가정은 두 개의 정규 랜덤 변수가 독립적이지 않을 때 추가로 만들어지는 것입니다. 여기서, 하나는 다른 하나의 아핀 함수라는 사실이 조인트 정규성을 보장합니다. 이변 량 정규성에 대한 Cramer의 조건에 따라 두 정규 랜덤 변수의 모든 선형 조합에 일 변량 정규 분포가있는 경우 여야합니다. 우리의 경우에 우리는 (일반적인 표기법) $Y$ 그리고 랜덤 변수 $X = a+bY$ . 치다

δ_{1} 엑스 + δ_{2} 와이 = δ_{1} (ㅏ + 비 와이) + δ_{2} 와이 = δ_{1} ㅏ + (δ_{1} 비 + δ_{2}) 와이

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

그래서 어떤 $(\delta_1, \delta_2)$ (선험적으로 제외되는 제로 벡터 제외), $\delta_1X + \delta_2 Y$ 다음과 같은 경우 정규 분포를 따릅니다. $Y$ 그렇습니다. 따라서 로그 위험 수익률이 정규 분포를 따라 합동 정규성을 얻는다고 가정하면 충분합니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

이것은 오래된 답변이지만, 명시된 바와 같이이 답변은 허위입니다. 확률 적 요소가있는 상태에서 라그랑주 승수를 사용할 때는주의해야합니다. 계산을 올바르게 수행하면 표준 자산 가격 방정식만으로 끝납니다

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$ -계산에서 최적화에주의하지 않기 때문에 기대치를 잃게됩니다. (이를 말하는 또 다른 방법은 최적화 문제가

s + 1

$s+1$ 대신 제약

2

$2$ , 어디

s

$s$ 기간 동안 가능한 자연 상태의 수

t + 1

$t+1$ .)

— Starfall

@Starfall 입력 해 주셔서 감사합니다. 오래되었거나 그렇지 않은 경우 잘못된 내용을 수정해야합니다. 답을 다시 확인하고 내가 할 수있는 일을 살펴 보겠습니다. 언뜻보기에, 당신이 사이의 공분산을 의미한다고 생각합니다

t + 1

$t+1$ 승수와

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$ 용어가 무시되었습니다.

— Alecos Papadopoulos

무시 된 공분산 만이 아닙니다. 이것이 유일한 문제라면

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$ 는 할인 요소의 예상 값과 예상 수익을 연결하는 반면 답변은

m R = 1

$mR = 1$ , 모든 자연 상태에서 유지되는 할인율과 수익률 사이의 사후 관계. 문제는 단순히 문제의 다른 자연 상태에 대해 명시하지 않고 확률 변수와 함께 Lagrange 승수를 사용할 수 없다는 것입니다.

— Starfall

용어가 명확하지 않은 경우

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$ ,

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$ 이 문제에서.

— Starfall

@Starfall 흠 ... 여기서 문제는 실제 배포 솔루션이 아니라 실제로 배포 된 것입니다 ... 나중에 생각하고 나중에 자세히 설명하겠습니다.

— Alecos Papadopoulos

나는 최근에 모든 자산 및 부채 클래스에 대한 수익 분배를 유도하는 논문을 제작했습니다. 로그 정규 반환 값은 두 가지 경우에만 나타납니다. 첫 번째는 단일 기간 할인 채권이며, 두 번째는 주식 매입 합병입니다. 그것은 원래 Boness에 의해 Markowitz의 무한한 음의 가격 문제를 제거한다고 생각합니다. 논리적으로 파생되었지만 일반적으로 사실이 아닌 중요한 가정이 있습니다.

대부분의 재무 모델은 매개 변수가 확률 1로 알려져 있다고 가정합니다. 당신은 추정 할 필요가 없습니다 $\mu$ 와 $\bar{x}$ 알려진 것으로 추정되기 때문입니다. 표면적으로 이것은 귀무 가설 기반 방법의 일반적인 방법론이기 때문에 문제가되지 않습니다. 널이 참이라고 주장하므로 매개 변수가 알려져 있으며이 널에 대해 테스트가 수행됩니다.

매개 변수를 모르면 어려움이 발생합니다. 일반적으로 그 가정없이 증거가 무너지는 것으로 나타났습니다. Black-Scholes도 마찬가지입니다. BlackScholes 공식의 가정이 문자 그대로 사실이라면 모집단 모수에 수렴하는 추정기가 존재할 수 없다고 주장하는 이번 봄 SWFA 컨퍼런스에서 논문을 발표했습니다. 모두가 완벽한 지식 하의 공식이 모수 추정량과 같다고 가정했습니다. 실제로 그 속성을 확인한 사람은 없습니다. 초기 논문에서 Black and Scholes는 경험적으로 공식을 테스트했으며 그것이 효과가 없다고보고했습니다. 매개 변수를 알고 있다고 가정하면 수학이 다르게 나옵니다. 같은 방식으로 생각할 수 없을 정도로 다릅니다.

NYSE 거래 주식 담보의 사례를 고려해 봅시다. 두 번의 경매에서 거래되므로 승자의 저주를 얻지 못합니다. 이 때문에 합리적인 행동은 가격이 같은 제한 주문을 생성하는 것입니다 $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ . 많은 구매자와 판매자가 있으므로 제한 도서는 정적으로 정상적이어야합니다. 그렇지 않으면 구매자와 판매자의 수가 무한대로 증가 할 것입니다. 그래서 $p_t$ 정적으로 정상입니다 $p_t^*$ 균형 가격.

물론 우리는 $(q_t,q_{t+1})$ . 분할 및 주식 배당을 무시하면 계속 존재하거나 존재하지 않습니다. 따라서 주식 수익률, 현금 수익률 및 파산에 대한 혼합 분포를 만들어야합니다. 옵션 가격 책정 모델을 해결할 수는 없지만, 이러한 경우를 단순화하기 위해 무시합니다.

우리가 자신을 제한한다면 $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$ 모든 배당금을 버린다면, 우리의 수익률은 평형에 관한 두 법선의 비율이됩니다. 배당금이 엉망이되어 배당금을 배제하고 2008 년 금융 위기와 같은 경우는 배제합니다.

데이터를 다음과 같이 변환하면 파생을 단순화합니다. $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ 에 $(0,0)$ 정의 $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$ 분포를 쉽게 볼 수 있습니다. 부채에 대한 제한이나 시간 간 예산 제약이없는 경우 잘 알려진 정리에 따르면 수익 밀도는 평균 또는 분산이없는 코시 분포 여야합니다. 모든 것을 가격 공간으로 되돌릴 때 밀도는

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + ({아르 자형}_{티} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

평균이 없으므로 기대치를 취하거나 F 테스트를 수행하거나 최소 제곱의 형태를 사용할 수 없습니다. 물론, 골동품이 아니라면 다를 것입니다.

경매에서 골동품 인 경우 승자의 저주가 얻어집니다. 높은 입찰자가 입찰에서 이기고 높은 입찰의 제한 밀도는 Gumbel 분포입니다. 따라서 동일한 문제이지만 두 정규 분포 대신 두 개의 Gumbel 분포 비율로 해결할 수 있습니다.

문제는 실제로이 단순한 것이 아닙니다. 책임 제한으로 인해 모든 기본 분포가 잘립니다. 시간 간 예산 제약 조건은 모든 기본 분포를 왜곡합니다. 배당금 분배, 현금 인수 합병, 주식 또는 자산 인수 합병, 파산, 위와 같은 우려 사항에 대해 잘린 Cauchy 배포판이 있습니다. 혼합물에 지분 증권에 대한 6 가지 유형의 분포가 있습니다.

규칙과 존재 상태가 다른 시장마다 분포가 다릅니다. 앤티크 꽃병은 떨어 뜨리거나 부서지는 경우가 있습니다. 또한 마모 및 기타 본질적인 품질의 변화가있는 경우도 있습니다. 마지막으로, 비슷한 꽃병이 충분히 파괴되면 위치 중심이 이동하는 경우도 있습니다.

마지막으로, 절단 및 매개 변수에 대한 충분한 통계가 부족하기 때문에 계산 가능하고 허용 가능한 비 베이지 추정기가 없습니다.

http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html 에서 두 정규 변이의 비율을 도출하고 설명을 찾을 수 있습니다 .

다음 주제에서 첫 번째 논문으로 보이는 것을 찾을 수도 있습니다.

Curtiss, JH (1941) 두 기회 변수의 지수 분포에 관한 것입니다. 수학 통계 연보, 12, 409-421.

에 후속 논문도 있습니다

Gurland, J. (1948) 비율 분포에 대한 반전 공식. 수학 통계 연보, 19, 228-237

에서 우도주의와 빈번한 방법에 대한 자동 회귀 양식

White, JS (1958) 폭발 사례에서 연속 상관 계수의 제한 분포. 수학 통계 연보, 29, 1188-1197,

Rao의 일반화

Rao, MM (1961) 폭발성 확률 차 방정식에서 모수 추정량의 일관성 및 한계 분포. 수학 통계 연보, 32, 195-218

필자의 논문은 참 매개 변수를 알 수없는 경우 분포를 구성하기 위해 Koopman의 논문과 Jaynes의 논문과 같은이 네 가지 논문과 다른 논문을 사용합니다. 위의 백서에는 베이지안 해석이 있으며 베이지안이 아닌 솔루션이 없어도 베이지안 솔루션을 허용합니다.

참고 $\log(R)$ 유한 평균과 분산은 있지만 공분산 구조는 없습니다. 분포는 쌍곡선 분포입니다. 이것은 통계에서 잘 알려진 결과이기도합니다. 파산, 합병 및 배당과 같은 부수적 사건으로 인해 실제로 쌍곡선 분배가 될 수는 없습니다. 실존 사례는 부가 적이지만 로그는 곱셈 오류를 암시합니다.

쌍곡 시컨트 분포에 대한 기사를 찾을 수 있습니다.

Ding, P. (2014) 쌍곡선 상사 분포의 3 가지 발생. 미국 통계 학자, 68, 32-35

내 기사는

해리스, D. (2017) 수익 분배. 수학 금융 저널, 7, 769-804

내 것을 읽기 전에 먼저 위의 네 가지 논문을 읽어야합니다. ET Jaynes tome을 읽는 것도 아프지 않을 것입니다. 불행히도 그것은 논쟁적인 일이지만 그럼에도 불구하고 엄밀합니다. 그의 책은 다음과 같습니다

Jaynes, ET (2003) 확률 이론 : 과학의 언어. 케임브리지 대학 출판부, 케임브리지, 205-207

— 데이브 해리스
소스