가 순방향 측정-브라운 임을 표시

정의와 물건 :

필터링 된 확률 공간 $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ .

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

이것은 위험 중립 조치 입니다.

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

여기서 $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ 는 표준 $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$ 브라운 운동입니다.

고려 $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$ 여기서

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

앞으로 측정 값 정의 $\mathbb Q$ :

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

여기서 는 단기 금리 프로세스이고 { P ( t , T ) } t ∈ [ 0 , T ] 는 시간 t에서의 채권 가격입니다.$\{r_t\}_{t \in [0,T]}$$\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$

이는 것을 나타낼 수있다 A는 ( F의 T , P ) - 마틴 채권 가격 역학 같이 주어진다 :$\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

어디

1. 및 ξ t 는 F t- 적응$r_t$$\xi_t$$\mathscr F_t$

2. 는 Novikov의 조건을 만족시킵니다 (특히 ξ t 는 어떤 것도 나타내는 것으로생각하지 않습니다)$\xi_t$$\xi_t$

---

문제:

확률 적 프로세스 정의 st$W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Girsanov 정리 를 사용 하여 다음을 증명하십시오.

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

---

내가 시도한 것 :

는 노비 코프의 조건을 만족 하므로$\xi_t$

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

A는 마틴.$(\mathscr F_t, \mathbb P)-$

Girsanov 정리에 의해

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

나는 우리가이 추측 표준 Q 우리가 보여줄 수있는 경우 -Brownian 모션$W_t^{\mathbb Q}$$\mathbb Q$

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

노트를 잃어 버렸지 만 이토의 명예를 사용하여

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

내가 추론하는 것에서

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

맞습니까?

(질문과 표기법을보다 자세히 사용하면 공식화에 문제가있는 것 같습니다.)

일반 사실

하자 $W$ 여과에 대하여 함께 표준 브라운 운동 $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ . d L t에 의해 정의 된 $(L_t)_{t \in [0,T]}$ 고려하십시오.

$$\frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1.$$ 일반적으로$L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$는 슈퍼 마틴 게일입니다. 일부 조건 (예 : Novikov 조건)에서$L_t$는 마틴 게일이며dQ로확률 측정$\mathbb{Q}$를 정의 할 수 있습니다. $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ 아래$\mathbb{Q}$프로세스 $$W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ 여과에 대한 표준 인 브라운 운동$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

이것이 사실 인 비공식적 인 표시는 다음과 같습니다. 고려 $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ . 베이 즈 정리에 의해, $W^{\lambda}$ 는 L W λ 가 P- 마르텐 데일 인 경우에만 $\mathbb{Q}$ 마르텐 데일이다. 이후$L W^{\lambda}$$\mathbb{P}$

$$\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*}$$ 우리가 있어야$\lambda = - \psi$대한$W^{\lambda}$될$\mathbb{Q}$-Brownian 운동.

확률 밀도로 할인 된 가격

내재적 가정은 가격 $S_t$d S t를 따르는 기본 자산이 있다는 것입니다

$$\frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t$$ 위험 중립 계수 아래$\mathbb{P}$. 쇼트 율$(r_t)$변동성 $\sigma_t$프로세스는 적분 값이 존재하므로 충분한 규칙 성으로 구성된다. (이 사실로 들어 브라운 여과에 의해 생성 된$(W_t)$그래서 마틴 표현 정리 적용, 물리적 측정 하에서 물리적 브라운 운동에 의해 발생하는 것과 동일하게 위험 중립 측도하에있다).

이 브라운 여과 설정에서, 시간 $T$ 주장 $X_T$ 에 대해, 가격 $X_t$ 의 위험 중립 역학은 d X t 형식을 취합니다.

$$\frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t.$$ 프로세스$(\psi_t)$는물리적 및 위험 중립 측정에서$X_t$의 반환 변동성입니다.

즉, 할인 된 가격의 위험 중립 역학 $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$ 는 d M t로 주어집니다

$$\frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0.$$ ($T$ 클레임의 할인 가격은차익 거래없이 위험 중립적 측정 하에서 마틴 게일을 따라야합니다.)

Novikov의 상태가 유지되면 $L_T = \frac{M_T}{M_0}$ 은 라돈-니코 딤 밀도dQ를정의

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T.$$ 아래$\mathbb{Q}$프로세스 $$W_t - \int_0^t \psi_s ds$$ 여과에 대한 표준 인 브라운 운동$( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$.

즉, 할인 보수 $e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ 어느 $T$ -claim $X_T$ 의 시간 - 정규화, $0$ 가격 $X_0$ , 계수의 라돈 Nikodym 밀도로 간주 될 수 $\mathbb Q$ . 아래 $\mathbb Q$ , 위험 중립 브라운 운동 이제 창의 변동성에 의해 주어진 드리프트했다 $\frac{d X_t}{X_t}$ .

$(Y_t)$$e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$$\mathbb P$$(\frac{Y_t}{X_t})$$\mathbb Q$

앞으로 측정

$X_t = P(t,T)$$t$$T$$X_T = P(T,T) = 1$

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t,$$ $\xi_t$

$(r_t)$$\xi = 0$

$\mathbb Q$

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T.$$ $$\frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t,$$ $\mathbb{Q}$ $$W_t - \int_0^t \xi_s ds$$ $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$

$M_t$$\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$

경험적 의견

$\mathbb Q$$\mathbb Q$

$F(t,T)$$t$$T$

$$F(t,T) P(t,T) = S_t$$ $\mathbb P$$F(t,T)$$\mathbb Q$

선물 가격 이기 때문에

$$F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)}$$ $P(t,T)$ $$\frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t,$$ $P(t,T)$