제어 이론 - 미분 방정식 및 상태 변수 설명

저는 3 학년 학사 학생으로 착각 할 수도 있지만 제가 이해 한 것과는 다를 수 있습니다 : 제어 이론에서는 연구 된 시스템에 상태 변수 설명이 있다고 가정합니다. 그런 다음 우리는 그러한 시스템에서 전달 함수가 적절해야한다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 상태 변수 설명을 사용하면 시스템을 간단한 미분 방정식 또는 등가 적으로 미분 방정식 시스템으로 설명 할 수 있습니다. 나는 모든 물리적 시스템이 그러한 방정식으로 설명 될 수 있다고 정말로 확신하지는 않습니다. 내가 어떤 다른 설명이 있을지 모르겠지만, 나는 강한 주장을하고 싶다. 나는 그것이 유체 또는 뉴턴 역학의 방정식과 관련이 있다고 생각하지만 누군가가 더 구체적 일 수 있다면 고맙겠습니다.

오래전에 교수님이 한 번 들렀습니다.

"나에게 한 마디 만 ... 어떤 말도하지 말아라. 내가 어떻게 뿌리 내리는 지 보여 줄게.   그 단어의 PDE입니다! "

철학의 손길
모든 물리적 시스템은 미분, 대수, 적분, 확률 적 등 몇 가지 수학 방정식으로 모델링됩니다. 물리적 시스템의 가장 단순한 모델은 시간 변수 (즉, 미분 방정식)의 변동 만 고려합니다. 이러한 모델은 "진정한 물리학"에 비해 매우 단순한 경향이 있지만 엔지니어가 종종 시스템의 입 / 출력 동작을 신경 써야하기 때문에 특정 엔지니어링 응용 프로그램에 대해 "충분 함"이되는 경우가 많습니다.

ODE 모델의 장점 :
다른 변수 (특히 공간)와 관련하여 모든 변형을 무시하면 다른 유형의 미분 방정식과 비교하여 계산하고 분석하기가 더 쉽습니다. 임펄스 (impulse) 및 임펄스 (impulse)를 포함한 많은 분석 도구를 활용할 수 있습니다. 주파수 응답, 보드 플롯 등 ... ODE 시스템이 설정 점을 기준으로 선형 또는 선형화 가능한 경우 PID, LQR 및 LQG와 같은 표준 제어 기술을 사용할 수 있습니다.

비 ODE 모델의 단점
ODE는 엔지니어에게 필요한 최소한의 수학적 복잡성을 요구하는 한 분석하기가 더 간단하다는 점을 강조합니다. 물론 ODE 모델과 비교하여 실제 물리를보다 잘 반영 할 수있는 더 복잡한 물리적 시스템 모델 (예 : 편미분 방정식)이 있습니다. 그러나 ODE (a.k.a. 고전 제어 이론)에 대해 배운 분석 도구는 더 이상 적용되지 않습니다. 대신, 최적 제어 이론의 범주에 속하는 일련의 도구를 사용해야 할 것입니다. 엔지니어에게 가장 관심있는 문제의 경우, 최적의 제어에는 상당히 정교한 수치 방법 (보통 adjoint 기반 최적화)이 필요합니다. 변수 나 매개 변수에 확률을 포함 시키면 상황이 더욱 복잡해집니다.

간단히 말해, ODE가 아닌 다른 것을 제어하는 ​​것은 실제로는 매우 복잡하며 처음에는 불필요한 경우가 많습니다. Non-ODE 제어는 매우 고도로 전문화 된 분야이며 일반적으로 핵심 엔지니어링 수업의 일부로 가르쳐지지 않습니다. 실제로 ODE가 아닌 다른 것을 제어 할 수있는 기회를 얻게된다면, 그것은 평범한 공학 응용보다는 첨단 과학 연구의 일부가 될 것입니다.