양자 컴퓨터가 지수 이점을 제공하는 것으로 알려진 문제가 있습니까?

일반적으로 양자 컴퓨터는 적어도 일부 작업에서 클래식 장치보다 성능이 뛰어나다 고 주장되고 있습니다.

양자 컴퓨터가 고전적인 장치를 능가 할 것이라고하는 문제의 가장 일반적으로 인용 된 예 중 하나는 , 그러나 다시, 또한 여부를 알 수 없습니다 인수 분해는 (여부도 고전 컴퓨터와 효율적으로 풀 수있다 고려해 ∈ P ).$\text{Factoring}$$\text{Factoring}$$\text{Factoring}\in \text{P}$

퀀텀 컴퓨터가 데이터베이스 검색과 같은 이점을 제공하는 것으로 알려진 다른 일반적으로 인용되는 문제의 경우 속도 향상은 다항식입니다.

양자 컴퓨터가 기하 급수적 인 이점을 제공한다는 것이 입증 될 수있는 알려진 문제가 있습니까 (강력한 계산 복잡성 가정 하에서 증명되거나 입증 된)?

함수 가정 다음 흥미로운 특성을 갖는다 :이 존재 들 ∈ { 0 , 1 } N 되도록 F ( X ) = F ( Y ) 경우에만, X + Y = 들 . 경우에 S = 0 유일한 해결책은이 수단 (F)은 1 대 1이고; 그렇지 않으면 f ( x ) 와 같이 0이 아닌 s 가 있습니다.$f\colon {\mathbb F_2}^n \to {\mathbb F_2}^n$$s \in \{0,1\}^n$$f(x) = f(y)$$x + y = s$$s = 0$$f$$s$모든 x에 대해 = f ( x + s ) , 2 = 0 이므로 f 는 2 대 1을 의미합니다.$f(x) = f(x + s)$$x$$2 = 0$$f$

고전 또는 양자 컴퓨터에서, 각 옵션이 (1 대 1의 경우)이 속성을 만족하는 균일 한 임의의 1 대 1 기능과이 특성을 만족하는 균일 한 임의의 2 대 1 기능을 구별하는 규정 된 성공 확률에 대한 비용은 얼마입니까? -1 또는 2-to-1) 확률이 같습니까?

즉, 나는 비밀리에 동전을 공정하게 뒤집습니다. 머리를 얻으면 균일 한 임의의 일대일 함수 대한 블랙 박스 (클래식 또는 양자, 각주) 회로를 건네지 만 꼬리를 얻으면 균일 한 임의의 2- 대에 블랙 박스 회로를 건네줍니다. -1 기능 f . 얼마나 당신은 성공의 규정 확률을 얻기 위해 지불해야 할 P 내가 머리 또는 꼬리를 가지고 있는지 말하는을?$f$$f$$p$

이것은 Simon의 알고리즘 시나리오입니다 . 그것은에서 비의 응용 프로그램이 무의미한 암호 해독을 , ^* 그리고 쇼어 알고리즘의 복잡성 클래스 BQP와 BPP 이른 영감을 연구의 초기 악기였다.

Simon은 O ( n + | f | ) 큐 비트의 비용 과 성공 1 근처의 확률에 대해 O ( n ⋅ T f ( n ) + G ( n ) )의 비용이 드는 양자 알고리즘 (§3.1, p. 7)을 제시했습니다 . T f ( n ) 은 크기 n 의 입력에서 f 값의 중첩 을 계산하는 시간 이며 여기서 G ( n ) 은$O(n + |f|)$$O(n \cdot T_f(n) + G(n))$$T_f(n)$$f$$n$$G(n)$F 2 의 n × n 선형 방정식 시스템.$n \times n$$\mathbb F_2$

시몬 상기 스케치 증명 고전 알고리즘을 평가하는 것이 (. 정리 3.1 P 9) 이하에 2 N / 4 별개의 분리 보다 더 유리하게 경화를 추측 할 수있는 값 2 - N / 2 , 균일 랜덤 추측 오버.$f$$2^{n/4}$$2^{-n/2}$

어떤 의미에서,이 긍정적으로 귀하의 질문에 대답하십시오 요구하는 양자 계산 선형 A의 임의 기능의 평가의 수 양자 중첩 의 입력이 필요로하는 고전적인 계산보다 훨씬 더 성공 확률을 얻을 수 지수 에 임의의 기능 평가의 수 분리를 입력 의 크기로 입력. 그 동안 그가 될 수 있기 때문에 또 다른 의미에서 그것은 전혀 귀하의 질문에 대답하지 않는 모든 특정 기능 검색을 계산하는 빠른 방법이있다.$f$

독일어 - Jozsa 알고리즘은 독자들에게 연습 문제로 남겨있는 세부 사항을 파악, 다른 복잡성 클래스, P 및 EQP을 연구하는 약간 다른 인공의 문제에 대한 유사한 그림의 역할을한다.

_{^* Simon 's는 암호 해독에 무의미합니다. 상상할 수 없을 정도로 혼란스러운 바보 만이 적의 양자 회로에 비밀 키를 입력하여 양자의 입력 중첩에 사용할 수 있지만 어떤 이유로 누군가 Simon의 알고리즘을 사용하여 새로운 논문을 출판 할 때마다 스플래시가 발생하기 때문입니다. 가상 하드웨어로 바보의 열쇠를 깰 수 있습니다.이 모든 공격이 작동하는 방식입니다. 예외 : 이로 인해 화이트 박스 암호화 가 깨질 수도 있지만, 기존의 적들에 대한 화이트 박스 암호화의 보안 이야기는 유망하지 않습니다.}

이것이 당신이 찾고있는 것인지 확실하지 않습니다. 그리고 나는 이것을 "지수"로 인정할 수 있는지 모른다. 또한 양자 병렬 장치에서 더 적은 리소스를 사용하는 '2D 숨겨진 선형 함수 문제'클래스를 제시했습니다.

논문은 여기 arxiv 에 있지만 간단한 요약입니다. 양자 장점은 병렬 회로의 깊이에 있기 때문에 문제가있는 팬-인으로 스레드를 분할 할 수있는 스레드 수입니다. 문제는 행렬 A 와 입력 벡터 b 가 주어지며, 이차 형태 q 와 그 형태에 대한 특수한 부분 공간을 정의 할 수 있습니다 . "숨겨진 선형 함수 문제"의 목표는 특수한 부분 공간에서 이차 함수에 대한 선형화를 찾는 것입니다.$N\times N$$A$$b$$q$

고전 probablistic 회로가 ~로 제한되어 당신이 당신의 계산이 확률로 성공하려면, 깊이 > (7) / 8 (당신은 아마 적어도이 확률로 성공하려면). 양자 회로는 일정한 깊이로 그것을 할 수 있으므로 크게 개선됩니다.$\log{N}$$>7/8$

증명은 본질적으로 고전적인 회로로는 시뮬레이션하기 어려운 특정 그래프 상태에 해당하며,이 하위 결과는 약간 일찍 입증되었습니다 . 그런 다음이 논문의 나머지 부분에는 더 많은 종류의 문제가이 어려운 문제를 포함하고 있음을 보여줍니다.

기존 컴퓨터에서 효율적으로 해결할 수있는 복잡한 의사 결정 문제를 BPP 라고합니다 (또는 임의성을 허용하지 않는 경우 P 이지만 어쨌든 같은 것으로 의심됩니다). 양자 컴퓨터에서 효율적으로 해결할 수있는 문제 클래스를 BQP 라고 합니다. 양자 컴퓨터가 기하 급수적으로 속도를 올리는 문제가있는 경우 이는 BPP $\neq$ BQP 임을 의미합니다 . 그러나 BQP 대 BPP 질문은 이론적 컴퓨터 과학에서 중요한 공개 질문이므로 그러한 문제는 존재하지 않는 것으로 입증되었습니다 (그리고 하나를 찾으면 모든 종류의 상을 확실히 얻을 수 있습니다).

반면에 다른 답변에서 언급 했듯이 Simon의 알고리즘 과 같이 $\textbf{BPP}^O \neq \textbf{BQP}^O$ 라는 블랙 박스 ( "oracle") 문제가 있습니다. 이것은 증거는 아니지만 실제 세계에서 BPP ≠ BQP 라는 증거를 제공합니다 . $\neq$

공식적인 증거를 제공 할 수는 없지만, 양자 시스템의 (시간적 진화) 시뮬레이션은 그러한 경우로 여겨집니다. 지수 컴퓨터보다이 방법을 고전 컴퓨터에서 수행하는 더 좋은 방법은 없지만 양자 컴퓨터는 사소하게 다항식 시간에 그것을하십시오.

이러한 양자 시뮬레이터 ( wikipedia article 참조 ) 의 아이디어는 실제로 양자 컴퓨터가 처음 제안 된 방법입니다.