양자 컴퓨터가 어떤 방식으로 비 결정적 튜링 머신보다 강력한 이유는 무엇입니까?

양자 컴퓨팅의 표준 대중 뉴스 계정은 양자 컴퓨터 (QC)가 서로 다른 우주에서 기하 급수적으로 많은 상호 작용하지 않는 병렬 사본으로 분할되어 각각이 서로 다른 인증서를 확인한 다음 계산이 끝날 때 작동한다는 것입니다 유효한 인증서를 찾은 단일 사본은 솔루션을 "발표"하고 다른 지점은 마술처럼 사라집니다.

이론적 양자 계산에 대해 아는 사람들은이 이야기가 절대적으로 넌센스이며 위에서 설명한 대략적인 아이디어 가 양자 컴퓨터보다 비결정론 적 튜링 머신 (NTM)에 더 가깝다는 것을 알고 있습니다. 더욱이 NTM에 의해 효율적으로 해결할 수있는 문제의 클래스의 문제는 NP 이고 QC에 의한 문제 는 BQP 이며, 이러한 클래스는 같지 않다고 생각된다.

대중적인 발표를 바로 잡으려는 사람들은 단순한 "많은 세계"이야기가 QC의 힘을 크게 과장한다고 지적하는데, 이는 NP- 완전 문제 를 해결할 수 없다고 믿어진다 . 그들은 측정 과정의 잘못된 표현에 중점을 둡니다. 양자 역학에서는 측정 한 결과가 Born 규칙에 의해 결정되며 대부분의 경우 오답을 측정 할 확률이 올바른 것을 측정 할 확률을 완전히 amp습니다. (그리고 같은 블랙 박스 검색과 같은 경우에, 우리는 할 수 있습니다 증명 지수 속도 향상을 더 똑똑한 양자 회로가 태어난 규칙을 이길 수 및 제공합니다.) 우리가 경우 수마술로 "무엇을 측정할지 결정"하면 복잡한 클래스 PostBQP 의 모든 문제를 효율적으로 해결할 수 있으며 , 이는 BQP 보다 훨씬 큰 것으로 생각됩니다 .

그러나 나는 대중화 된 특성화가 잘못되고 다른 방향으로 나아가는 또 다른 방법 이 있다는 것을 아무도 분명히 지적하지 못했습니다 . BQP 는 NP 의 엄격한 하위 집합이 아니라 비교할 수없는 것으로 생각됩니다. 푸리에 검사 와 같은 문제 는 NP 외부 뿐만 아니라 실제로 전체 다항식 계층 PH 외부에도있는 것으로 여겨집니다 . 이와 같은 문제와 관련하여 인기있는 이야기는 실제로 QC의 힘을 과장하지 않고 국가 아래에 있습니다.

나의 순진한 직관은 만약 우리 가 "무엇을 측정 할 것인지 선택할 수 있다면 "인기있는 서술은 다소 정확할 것이며, 이는이 슈퍼 양자 컴퓨터가 정확하게 클래스 NP 를 효율적으로 해결할 수 있다는 것을 의미합니다 . 그러나 우리는 이것이 잘못되었다고 생각합니다. 실제로 PostBQP = PP 이며, 이는 NP 의 엄격한 수퍼 세트라고 생각합니다 .

양자 컴퓨터가 비결정론 적 튜링 머신보다 더 강력 할 수있는 장면 뒤에서 어떤 일이 일어나고 있는지 직감이 있습니까? 아마도이 "본질적으로 양자"전력, postselection (이 함께 할 때 의미에서 NTMS 이미) 슈퍼 품질 관리가 훨씬 더 강력한 NTM보다 더 만드는 것입니다. (전통적인 복잡성 클래스 PP 를 "통과하지 않고"NTM 및 QC를 사후 선택과 직접 대조하는 직관을 찾고 있습니다.

speedup complexity-theory bqp

— 파커
소스

답변:

의사 기반 관점에서 BQP 가 NP 와 다른 강력한 (구절 을 만드는 ) 클래스 인 이유 는 양자 컴퓨터가 파괴적인 간섭을 이용하는 것으로 간주 될 수 있기 때문입니다.

많은 상이한 복잡성 클래스는 NTM의 수용 브랜치 수의 (더 복잡한 특성) 측면에서 설명 될 수있다. '정상 형식'의 NTM이 주어지면, 계산 분기 세트가 다항식 깊이의 완전한 이진 트리 (또는 이와 유사한 것)임을 의미하므로 다음과 같은 구별을 통해 정의 된 언어 클래스를 고려할 수 있습니다.

수락 분기 수가 0입니까, 0이 아닌가요? ( NP 특성화 )
수락 분기 수가 최대 값보다 작거나 정확히 최대 값입니까? ( coNP 의 특징 .)
수용 지점의 수는 총계의 최대 3 분의 1 또는 최소 2/3입니까? ( BPP 의 특성화 .)
수락하는 지점의 수는 전체의 절반보다 적거나 절반 이상입니까? ( PP 특성화 )
수락하는 지점의 수는 총계의 정확히 절반 또는 정확히 절반과 다릅니 까? ( C ₌ P 라는 클래스의 특성화 )

이를 계수 클래스 라고 합니다 . 실제로 분기를 수락하는 횟수로 정의되기 때문입니다.

NTM의 분기를 무작위로 생성 한 것으로 해석하면 통계적 신뢰도로 효율적으로 테스트 할 수없는 경우에도 수용 가능성에 대한 질문입니다. 복잡성 클래스를 설명하는 다른 방법 은 NTM의 수락 브랜치 수와 거부 브랜치 수 사이의 간격을 대신 고려하는 것 입니다. NTM 계산 분기의 누적 계산이 확률에 해당하는 경우, 분기를 거부하는 것에 대해 수락 분기를 취소하면 양자 계산에서 계산 경로 (경로에서와 같이)의 취소, 즉 파괴적 간섭을 모델링하는 것으로 제안 할 수 있습니다. .

BQP 에 대해 가장 잘 알려진 상한 , 즉 AWPP 및 PP 는 이러한 방식으로 '수락 갭 (acceptance gaps)'으로 쉽게 정의 할 수 있습니다. 그러나 NP 클래스 에는 분명한 특성이 없습니다. 또한 수용 격차 측면에서 정의에서 얻는 많은 클래스는 NP 보다 강력 합니다. '비결정론 적 파괴 간섭'이 단순한 비결정론보다 잠재적으로 더 강력한 계산 자원임을 나타 내기 위해 이것을 취할 수있다. 따라서 양자 컴퓨터가이 계산 리소스를 충분히 활용하지 않더라도 NP 와 같은 클래스에 쉽게 포함되지 않을 수 있습니다 .

— 닐 드 보드 랩
소스

인가 P 와 PSPACE의 계산 클래스는? 순진이를 위해 그 예를 보인다 P 가 모든 경로가 허용되도록 문제의 집합으로 정의 될 수 있기 때문에,하지만 난에 대해 확실하지 않다 PSPACE .

— tparker

PSPACE 는 계산 클래스가 아닙니다. P로 올바른 길을 가고 있습니다 --- 모든 경로를 수락하거나 모든 pah가 거부하거나 (또는 비슷한 요구 사항), 그렇지 않으면 coNP , coRP 또는 다른 클래스로 알려지지 않아야합니다. P와 같습니다 .

— Niel de Beaudrap

아마도 PH 는 비결정론 적 튜링 머신이 아닌 교호적인 측면에서 자연스럽게 공식화 되었기 때문에 계산 클래스가 아닐까요?

— tparker

B P P \subset P P \subset N P

$\mathbf{BPP} \subset \mathbf{PP} \subset \mathbf{NP}$

B P P \subset N P \subset P P

$\mathbf{BPP} \subset \mathbf{NP} \subset \mathbf{PP}$

B P P \subseteq N P

$\mathsf {BPP \subseteq NP}$

B P P \subseteq N P^{N P} \cap c o N P^{N P}

$\mathsf {BPP \subseteq NP^{NP} \cap coNP^{NP}}$

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하나의 주된 이유는 다항식 시간에서 NP-hard 문제를 해결하는 양자 알고리즘이 없기 때문입니다.

다른 하나는 (Dwave에서와 같이) 당뇨병 양자 어닐링이 고전적인 양자 어닐링을 거의 이길 수 없다는 것입니다.

$\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $=$ $=$

$=$

$\neq$

푸리에 검사와 같은 문제는 NP 외부뿐만 아니라 실제로 전체 다항식 계층 구조 밖에 있다고 생각됩니다. 이와 같은 문제와 관련하여 대중적인 이야기는 실제로 QC의 힘을 과장하지 않고 오히려 과소 평가합니다.

$O(n)$ $O(n)$

— 이산 도마뱀
소스