EKF의 공분산 행렬?

공분산 행렬 개념으로 어려움을 겪고 있습니다. 이제, 내 이해 σ X X , σ 의 Y Y 및 σ θ θ 그들은 그 불확실성을 설명하십시오. 예를 들어, σ x

$$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$$ $\sigma_{xx}$$\sigma_{yy}$$\sigma_{\theta \theta}$$\sigma_{xx}$x 값의 불확실성을 설명합니다. 이제 나머지 시그마에 대한 질문은 무엇을 나타 냅니까? 그들이 0이라면 무엇을 의미합니까? 나는 경우 것으로 해석 할 수 제로, 그것은 내가 x의 값에 대한 불확실성이없는 것을 의미한다.$\sigma_{xx}$

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참고 로 Howie Choset 등 의 로봇 모션 원리, 알고리즘 및 구현 원리를 읽고 있습니다. 알.

이 정의에 의해 는 σ 2 i 와 X i 의 분산과 동일 합니다. 옵션 I ≠ J , 만약 σ I , J = 0 , 다음 X I 및 X J 는 서로 독립적이다.$\sigma_{ii}$$\sigma_{i}^{2}$$X_{i}$$i ≠ j$$\sigma_{ij} = 0$$X_{i}$$X_{j}$

그러나 나머지 시그마가 0이면 내 질문에 대답 할 수 있지만 와 y 와 같은 변수 간의 관계에 대해서는 여전히 혼란 스럽습니다 . 언제 이런 일이 발생합니까? 나는 그들 사이의 상관 관계를 의미합니다. 다시 말해, 그것들을 0으로 가정 할 수 있습니까?$x$$y$

다른 책, 즉 FastSLAM : Scalable Method ... 마이클과 세바스찬

이 다변량 가우시안 공분산 행렬의 비 대각선 요소는 상태 변수 쌍 간의 상관 관계를 인코딩합니다.

상관 관계가 언제 발생할 수 있는지 언급하지 않으며 그 의미는 무엇입니까?

다음은 대각선이 아닌 요소가 0이 아닌 장난감 케이스입니다.

로봇의 단일 위치 대신 왼쪽 및 오른쪽 바퀴의 위치를 ​​포함하는 상태 벡터를 고려하십시오. 왼쪽 바퀴의 위치가 100m이면 오른쪽 바퀴의 위치도 대략 100m입니다 (축 길이에 따라 다름). 왼쪽 바퀴의 위치가 증가하면 일반적으로 오른쪽 바퀴도 증가합니다. 정확한 1 : 1 상관 관계가 아닙니다. 예를 들어 로봇이 회전 할 때 정확하게 유지되지 않지만 전체적으로 유지됩니다.

따라서 왼쪽 바퀴 x 위치와 오른쪽 바퀴 x 위치 사이의 대각선이 아닌 입구는 1에 가깝습니다.

공분산 행렬에 대한 느낌을 얻으려면 여기에 수학 세부 사항을 입력하지 않고 2x2 행렬로 시작하는 것이 가장 좋습니다. 공분산 행렬은 분산 개념을 다변량 사례로 확장 한 것임을 기억하십시오. 1D 경우 분산은 단일 랜덤 변수에 대한 통계입니다. 랜덤 변수에 평균이 0 인 가우시안 분포가있는 경우 분산은 확률 밀도 함수를 정확하게 정의 할 수 있습니다.

$\sigma_{xx}$$\sigma_{yy}$$x$$y$$\sigma_{xy}$ 0이됩니다.

$x$$y$$x$$y$$\sigma_{xy}$

$x$$y$$x$$y$ 성분 .

보다 관련성있는 예는 3D 경우이며, 일반적으로 가로 방향과 가로 방향을 따라 불확실성이 다릅니다. 시스템을 회전 할 때 ( 변경)$\theta$ ) 불확실성 타원도 회전합니다. 실제 표현은 일반적으로 바나나 모양이며 가우시안은 근사치 일뿐입니다. EKF의 경우 평균 주위의 선형화.

$1 \sigma$

3D 경우에도 마찬가지입니다. 나는 여기서 더 수학적으로 공부하고 싶지만 나중에 언젠가는 가능할 것입니다.