5 차 Runge-Kutta 방법의 안정성 영역에 대한 수수께끼

나는 신문에서 수수께끼의 말을 발견했다

PJ van der Houwen, 부분 미분 방정식에 대한 Runge-Kutta 방법 개발, Appl. 숫자 수학. 20 : 261, 1996

264 페이지의 8ff 줄에서 van der Houwen은 다음과 같이 씁니다.

"테일러 다항식이 가상 안정성 간격이 비어 있음을 의미한다 " $p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

여기서 Taylor 다항식 은 Runge-Kutta 방법 의 안정성 다항식 ( 주위 에서 의 잘린 확장)을 나타내며 p는 차수입니다 (263 페이지 참조). 나는 5 차 Runge-Kutta 방법이 내가 아는 한 빈 허수 안정성 간격을 갖지 않기 때문에 내가 잘못 이해한다고 가정합니다. 내가 기억하는 것에서 상상의 한계는 약 3.4 정도입니다. $\exp(x)$ $x=0$

내 오해는 무엇입니까?

numerical-analysis stability runge-kutta

— 브라이언 자타 파티 케
소스

van der Houwen의 진술은 정확하지만 모든 5 차 Runge-Kutta 방법에 대한 진술은 아닙니다. 그는에 언급 된 "테일러 다항식은"(당신이 알고있는 것 같은) 정도의 단지 다항식 가 대략 순서로 : $p$ $\exp(z)$ $p$

피_{피} (지) = \sum_{제이 = 1}^{피} \frac{지^{제이}}{제이!}

$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$

$|P_5(i\epsilon)|>1$ $\epsilon$ $P_5(z)$

$P_5(z)$

$P_5(z)$ $p$ $P_5(z)$

마지막으로, 고차 Runge-Kutta 방법에 대한 허수 안정성 구간의 범위를 결정할 때 실수를 저지르기가 쉽습니다. 그 때문에 매우 가까운 허수 축에 놓이는 그러한 방법을위한 안정 영역의 경계 . 따라서 반올림 오류는 잘못된 결론으로 이어질 수 있습니다. 정확한 계산 만 사용해야합니다 (물론 이러한 상황에서 실제 목적을위한 안정성 영역 경계의 관련성은 확실히 논의 될 수 있습니다).

예를 들어, 다음은 Fehlberg 5 (4) 쌍의 5 차 방법의 안정성 영역에 대한 도표입니다. 펠 버그 안정성 영역

상상의 안정성 간격이 비어 있지만이 해상도의 그림에서는 알 수 없습니다! 영역은 가상 축의 일부를 명확하게 포함하지만 원점에 대한 간격은 없습니다.

한편, Dormand-Prince 5 (4) 쌍의 5 차 방법에 대한 도표는 다음과 같습니다.

DP5 안정성 영역

$[-1,1]$

$P_p(z)$

NodePy 패키지에 관심 이있을 수 있습니다. 위의 플롯을 생성하고 메소드의 가상 안정성 간격과 같은 것을 정확하게 결정하는 데 사용할 수 있습니다 (면책 조항 : NodePy를 만들었습니다).

— 데이비드 케 치슨
소스

David, 몇 가지 사항을 해결 한 훌륭한 답변에 감사드립니다. 접근하지 않고 며칠 동안 여행하려고합니다. 나는 당신의 대답을 이렇게 매달려두고 싶지 않았습니다. 나는 다시 돌아올 것이다.

— Brian Zatapatique