가중 SVD 문제?

두 행렬 주어 및 , I는 벡터 찾으려 및 와 같은 것을 행렬 형태로, 나는 의 Frobenius 규범을 최소화하려고합니다. $A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

일반적으로, I는 복수 개의 단위 벡터 찾으려 및 "형태이야 곳 의는 양의 실수 계수이다. $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$

s_{i}

$s_i$

이는 때 특이 값 분해 (SVD)와 같습니다 . $(B)_{ij} = 1$

이 문제가 무엇인지 아는 사람이 있습니까? 그러한 문제의 해결을 위해 SVD와 같은 잘 알려진 알고리즘이 있습니까?

(math.SE에서 마이그레이션)

linear-algebra matrix reference-request

— 메밍
소스

나는 이것이 일반화 된 SVD 라고 믿는다 . Wikipedia 항목은 매우 상세하지 않으므로 링크 된 소스를 확인해야합니다. 특히이 Google 도서 링크의 466 페이지 가 도움이 될 수 있습니다.

— ely

x

$x$

y

$y$

일반화 된 SVD에서 B는 대각선이나 대칭 일 필요는 없습니다. 내가 제공 한 두 링크는 A와 B가 각각 MxN 및 PxN 차원의 일반 복소수 행렬 일 수 있음을 나타냅니다.

— ely

@EMS 제안에 감사드립니다. 연결을 자세히 설명해 주시면 감사하겠습니다.

— Memming

이것은 일반화 된 SVD와는 거리가 멀다.

B가 양의 행렬이면 내 패키지 BIRSVD를 사용할 수 있습니다 http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

이 방법을 설명하는 http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf 문서 는 문헌 검색을 고려할 수있는 참고 자료도 제공합니다.

— 아놀드 노이 마이어
소스

아, 문제를 가중 낮은 순위 근사치로 변환! 고마워요!

— Memming

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

예. 이것은 당신의 문제에 좋은 이름을줍니다. 그것을 해결하는 방법은 다른 문제입니다. 표준 문제는 아니며 빠르고 안정적인 알고리즘을 찾는 것이 매우 까다 롭습니다.

— Arnold Neumaier

— JuanPi