라플라시안 행렬의 제곱근 찾기

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다음 행렬 에 를 조옮김 와 함께 사용하십시오 . 제품 수율 , $A$

[\begin{array}{ccc} 0.500 & - 0.333 & - 0.167 \\ - 0.500 & 0.667 & - 0.167 \\ - 0.500 & - 0.333 & 0.833 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc} 0.500 & -0.333 & -0.167\\ -0.500 & 0.667 & -0.167\\ -0.500 & -0.333 & 0.833\end{array}\right]$

A^{T}

$A^T$

A^{T} A = G

$A^TA=G$

[\begin{array}{ccc} 0.750 & - 0.334 & - 0.417 \\ - 0.334 & 0.667 & - 0.333 \\ - 0.417 & - 0.333 & 0.750 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc}0.750 & -0.334 & -0.417\\ -0.334 & 0.667 & -0.333\\ -0.417 & -0.333 & 0.750\end{array}\right]$

여기서 는 라플라시안 행렬 입니다. 행렬 와 는 순위가 2이며, 고유 벡터 값은 고유 벡터 합니다. $G$ $A$ $G$ $1_n=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\end{array}\right]^T$

만 주어지면 를 얻는 방법이 무엇인지 궁금합니다 . 고유 분해 시도한 다음 를 설정했지만 다른 결과를 얻었습니다. 나는 이것이 계급 부족과 관련이 있다고 생각합니다. 누군가 이것을 설명 할 수 있습니까? 분명히 위의 예는 설명을위한 것입니다. 위의 형태의 일반적인 라플라시안 행렬 분해를 고려할 수 있습니다. $A$ $G$ $G=UEU^T$ $A'=UE^{1/2}$

예를 들어, 콜레 분해를 찾는 데 사용할 수 있기 때문에 ,에 분해 많은 솔루션을 얻을 수 있습니다. I는 다음과 같이 표현 될 수있는 용액에 관심 여기서 A는 행렬은 및 일부 벡터 인 만족 . 문제를 단순화하면 의 항목이 음수가 아닌 것으로 가정 할 수 있습니다. $G=LL^T$ $G$

A = (I - 1_{n} w^{T}),

$A=(I-1_nw^{T}),$

I

$I$

3 \times 3

$3\times 3$

1_{n} = [1 1 1]

$1_n=[1~ 1~ 1]$

w

$w$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

w

$w$

linear-algebra matrix eigensystem

— 사용자
소스

의 표현에 대해 추가 한 의견 은 부분적으로 만 도움이된다고 생각합니다. 그것은 정확히 하나의 고유 값이 0과 같다고 가정하지만, 비결 정성은 항상 존재합니다.

A

$A$

— Wolfgang Bangerth

@ WolfgangBangerth "비결 정성"의 의미를 파악하려고합니다. 그것이 이면 위의 예에서 유지되며 대해 일반화 될 수 있는지 확실하지 않습니다 . 그러나 제외하고 솔루션이 항상 존재하는지 의심합니다.

d e t (A) = 0

$det(A)=0$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

n = 3

$n=3$

— usero

아니요, 의미는 문제에 대한 해결책이 고유하게 결정되지 않았다는 것입니다. 행렬에 고유 값이 0인지 여부는 실제로 제곱근 문제에 고유 한 솔루션이 없다는 사실을 변경하지 않습니다.

— Wolfgang Bangerth

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우리는 매트릭스 라플라시안 매트릭스가 고유의 설정 한 위한 여기서 언제나을 알고 . 따라서 라플라시안 행렬은 항상 대칭 양의 반 정밀도입니다. 행렬 는 대칭 양수 한정이 아니기 때문에 Cholesky 분해에 대해 논의 할 때주의해야합니다. hole 레 스키 분해는 양의 반 정규 행렬에 대해 존재하지만 더 이상 고유하지 않습니다. 예를 들어, 양의 반정의 행렬 는 무한히 많았습니다. hole 레 스키 분해 $G=A^TA$ $\lambda_0\leq\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$ $G\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $\lambda_0 = 0$ $G$

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}],

$A=\left[\!\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\!\right],$

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin θ & \cos θ \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & \sin θ \\ 0 & \cos θ \end{array}] = L L^{T} .

$A=\left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\right] = \left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \!\right] \left[\!\begin{array}{cc} 0 & \sin\theta \\ 0 & \cos\theta \end{array} \!\right]=LL^T.$

그러나 우리는 라플라시안 행렬로 알려진 행렬 를 가지고 있기 때문에 실제로 Cholesky 분해와 같은보다 정교한 선형 대수 도구를 피하거나 를 복구 양의 반정의 행렬 제곱근을 찾을 수 있습니다. 예를 들어 Laplace 행렬 경우 그래프 이론을 사용하여 원하는 매트릭스 . 우리는 지향성 입사 행렬을 공식화함으로써 그렇게합니다. 그래프의 가장자리 수를 정의하면 $G$ $G$ $A$ $G\in\mathbb{R}^{4\times 4}$

G = [\begin{array}{cccc} 3 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right]$

A

$A$

m

$m$ 및 정점의 수가 될 다음 배향 접속 행렬 것이다 에 의해 주어진 행렬 여기서 는 꼭짓점 와 를 연결하는 가장자리를 나타냅니다 . 4 개의 꼭지점과 3 개의 모서리가있는 대한 그래프를 취 하면 지향성 입사 행렬

n

$n$

A

$A$

m \times n

$m\times n$

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array}

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right.$

e = (v, w)

$e=(v,w)$

v

$v$

w

$w$

G

$G$

A = [\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}],

$A = \left[\!\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\!\right],$

G = A^{T} A

$G=A^TA$ . 행렬 문제에 대해 정점과 같은 수의 가장자리를 가진 대한 그래프를 구성한다고 설명하면 Laplacian 행렬 만 주어지면 행렬 를 재구성 할 수 있어야합니다 .

G

$G$

A

$A$

G

$G$

최신 정보:

그래프의 꼭지점 각도의 대각선 행렬을 으로 정의하고 그래프 의 인접 행렬을 으로 정의하면 그래프 의 라플라시안 행렬 는 정의됩니다 . 예를 들어 다음 그래프에서 $N$ $M$ $G$ $G=N-M$

라플라시안 행렬은 이제 우리 는 그림 그래프에 주어진 가장자리와 노드를 사용하여 를 지향성 입사 행렬 와 관련시킵니다 . 다시 우리의 항목이 발견 으로부터

G = [\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right] - \left[\!\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

A

$A$

A

$A$

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array} .

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right..$

e_{1}

$e_1$

v_{1}

$v_1$ 그리고 . 그래서 결정하기 우리의 인덱스 있습니다 의 인덱스보다 작은 (또는 우리는 사건이 의 정의에 ). 따라서 입니다. 마찬가지로 인덱스를 비교하는 방법으로 찾을 수 있습니다 . 아래에 그림과 같이 정점과 정점을 참조하는보다 명확한 방법으로 제공 합니다.

v_{2}

$v_2$

A_{e_{1}, v_{1}}

$A_{e_1,v_1}$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v < w

$v<w$

A_{e v}

$A_{ev}$

A_{e_{1}, v_{1}} = 1

$A_{e_1,v_1} = 1$

A_{e_{1}, v_{2}} = - 1

$A_{e_1,v_2} = -1$

A

$A$

A = \begin{array}{ccccc} v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \\ e_{1} & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ e_{2} & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ e_{3} & 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array} .

$A = \begin{array}{c|cccc} & v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ \hline e_1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ e_2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ e_3 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}.$

다음으로, 우리는 라플라시안 행렬의 개념을 가중 비 지향 그래프로 일반화합니다. 을 와 의해 정점과 에지 세트로 각각 정의 된 무 방향 유한 그래프라고 하자 . 가중 그래프를 고려하기 위해 가중치 함수 정의합니다.이 함수 는 음수가 아닌 실제 가중치를 그래프의 각 가장자리에 할당합니다. 우리는 가장자리 연결 정점 와 에 부착 된 가중치 를 합니다. 가중 그래프의 경우, 우리는 각 정점 의 정도 를 연결된 모든 가중 가장자리의 합으로 정의합니다 . 즉 $Gr$ $V$ $E$

w : V \times V \to R^{+},

$w: V\times V\rightarrow \mathbb{R}^+,$

u

$u$

v

$v$

w (u, v)

$w(u,v)$

u \in V

$u\in V$

u

$u$

d_{u} = \sum_{v \in V} w (u, v) .

$d_u = \sum_{v\in V}w(u,v).$ 주어진 그래프로부터 우리가 가중치 인접 행렬을 정의 할 이 AS 에 의해 인덱스 된 행과 열로 엔트리들이 주어진다 . 하자 의해 인덱싱 대각 행렬 우리는 가중치 행렬 라플라시안 찾을 수 대각선상의 정점 각도와 직전으로

G r

$Gr$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

n \times n

$n\times n$

V

$V$

w (u, v)

$w(u,v)$

D (G r)

$D(Gr)$

V

$V$

G

$G$

G = D (G r) - A d (G r) .

$G = D(Gr) - Ad(Gr).$

원래 게시물의 문제에서 우리는 코멘트에서 우리는 우리의 인수 분해 추구 알고 어디 및 지정 양식입니다 곳 . 완전한 일반성을 위해 행렬 에 0 항목이 없다고 가정하십시오 . 따라서 가중 지향 입사 행렬을 를 찾기 위해 공식화하면 가중 인접 행렬

G = [\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{12} & - \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{12} \\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{5}{12} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{3}{4} \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

A

$A$

A

$A$

A d (G r)

$Ad(Gr)$ 가중 그래프도 루프를 가지게됩니다. 실제로 가중 지향 입사 행렬을 계산하는 것은 어려운 것처럼 보입니다 (단, 가중 그래프에 대한 경험이 부족한 결과 일 수도 있음). 그러나 그래프의 루프에 대해 알고 있다고 가정하면 임시로 찾는 형식의 인수 분해를 찾을 수 있습니다. 가중 라플라시안 행렬 를 다음과 같이 정도와 인접 행렬로 나눕니다.

G

$G$

G = [\begin{array}{ccc} \frac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{11}{12} \end{array}] - [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}] = D (G r) - A d (G r) .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac{11}{12} \\ \end{array}\!\right]-\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{12} \\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\ \tfrac{5}{12} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \\ \end{array}\!\right] = D(Gr)-Ad(Gr).$
따라서 , 및 의 루프의 가중치는 각각 , 및 입니다. 루프의 가중치를 벡터 = 원하는 행렬 복구 할 수 있습니다 원하는 형식으로

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v_{3}

$v_3$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 6

$1/6$

w

$w$

[\frac{1}{2}

$[\frac{1}{2}$

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

\frac{1}{6}]^{T}

$\frac{1}{6}]^T$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T} = [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{5}{6} \end{array}] .

$A = I-1_nw^T = \left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{6} \\ \end{array}\!\right].$

가중 그래프에 루프에 대한 지식이 있으면 원하는 형태로 행렬 를 찾을 수 있습니다 . 다시, 이것은 (그래프 이론가가 아니기 때문에) 임시 방식으로 수행되었으므로이 간단한 문제에 대해서만 효과가 있었던 해킹 일 수 있습니다. $A$

— 앤드류 윈터스
소스

설명하는대로 Laplacian 의 경우 를 복구 해도 문제가되지 않습니다 (예를 들어, 하나의 행 / 열에 만 0이 아닌 요소가 포함됨). 내 문제와 같이 문제가 일반적인 "전체"라플라시안과 복잡해 보인다. 의 자유도가 주어지면 위에서 주어진 제약 조건에 따라 솔루션을 얻을 수 있는지 확실하지 않습니다.

A

$A$

G

$G$

O (n^{2})

$O(n^2)$

G

$G$

— usero

맞습니다 I가주는 예 는 매우 간단하지만 가 전체 행렬 인 일반적인 경우에 가능합니다 . 모서리와 정점의 수를 늘리면 그래프 이론 문제가 더 복잡해집니다. 본질적으로 우리는 어려운 행렬 분해 문제를 어려운 그래프 이론 문제로 대체합니다.

G

$G$

G

$G$

— Andrew Winters

좋아, 주어진 에서 위에서 주어진 를 재구성하려고하면 감사하겠습니다 .

A

$A$

G

$G$

— usero

@AndrewWinters : 에서 가 어떻게 결정 되는지 명확히 할 수 있습니까? 일반적인 경우 알고리즘이 어떻게 진행되는지는 분명하지 않습니다.

A

$A$

G

$G$

— Geoff Oxberry

1

특정 인수 분해 형식 는 특정 유형의 가중치 그래프에만 존재하는 일반 에서는 가능하지 않다고 생각합니다 . 따라서 형식 의 Laplacian 행렬 는 가능한 모든 Laplacian 행렬의 하위 집합입니다.

G

$G$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

G

$G$

G = A^{T} A = (I - 1_{n} w^{T})^{T} (I - 1_{n} w^{T})

$G=A^TA=(I-1_nw^T)^T(I-1_nw^T)$

— Andrew Winters

9

나는 당신이 Hermitian positive semi-definite matrix 의 고유 행렬 square-root , 즉 Hermitian positive semi-definite matrix 만족시키는 것을 혼동한다고 생각합니다 . $A$ $B$

B^{2} = A,

$B^2 = A,$

와 비 고유 행렬 찾는 문제 만족을 $C$

C^{H} C = A,

$C^H C = A,$

어디서나 모든 단일 대한 매핑 는 동일성을 유지합니다. 알다시피, Cholesky 인수 분해는 하나의 가능한 솔루션을 제공합니다. 그러나 Cholesky는 Hermitian 양의 유한 행렬에 대해서만 작동합니다 (마지막 행과 열이 제거되면 양수의 Hermitian 양의 반정의 행렬은 제외 가능). $C \mapsto Q C$ $Q$

마지막으로 고유 값 분해를 통해 Hermitian Positive Semi-definite 행렬 의 고유 행렬 제곱근을 건설적으로 정의 할 수 있습니다.

A = U Λ U^{H},

$A = U \Lambda U^H,$

여기서 단위이며 인해 음이 아닌 엔트리를 가진 대각선 반 - 한정되는 포지티브. Hermitian 행렬 제곱근은 다음과 같이 쉽게 식별 할 수 있습니다. $U$ $\Lambda$ $A$

B = U \sqrt{Λ} U^{H} .

$B = U \sqrt{\Lambda} U^H.$

— 잭 폴슨
소스

당신은 행렬 square-root 에 대해 옳습니다 . 분명히, 인수 분해를 달성하는 다른 방법이 있지만, 공식화 된대로 (내 퀘스트에서)를 작성할 수 있음을 보장 할 수 있습니다.

A

$A$

— usero

6

본질적으로, 여러분이 요구하는 것은 행렬 G의 제곱근 A를 찾아서 가되도록하는 것입니다 . 가 대칭 행렬 인 경우에는 여러 가지 방법이 있습니다 . 예를 들어, 대칭, 다음 콜레 분해 한 가지 대답을 제공합니다 : . 그러나 이미 가지고 있는 행렬 다른 대답을 찾았습니다 . 이것이 단순히 의미하는 것은 행렬 의 많은 "제곱근"이 있고 , 하나의 특정 것을 원한다면, "분기"의 구조적 속성을 지정하는 방식으로 질문을 바꿔야합니다. 관심있는 제곱근.

G = A^{T} A .

$G = A^T A.$

G

$G$

G

$G$

G = L^{T} L

$G=L^TL$

A = L

$A=L$

A

$A$

G

$G$

나는이 상황이 복소수를 사용하여 실수 중 제곱근을 취하는 것과 다르지 않다고 말하고 싶습니다. 일반적으로 거기에는 두 개의 근이 있고 어떤 답을 독특하게 만들고 싶은지 말해야합니다.

— 볼프강 뱅 거스
소스

당신 말이 맞아요 다른 방법은 위에서 언급 한 스펙트럼 분해 방식입니다. 솔루션을 독창적으로 만들기 위해 편집했습니다. 잘하면 문제가 복잡하지 않습니다.

— usero

위에 주어진 제약 조건을 가진 솔루션이 항상 존재합니까? 아마도 그것은 일부 경우에만 적용되며 일반적으로는 아닙니다.

— usero

실제로, Cholesky는 (필수적으로) 행렬이 에르 미트 양수 한정이어야하므로 그의 경우에는 작동하지 않습니다.

— Jack Poulson

4

행렬 A에 대해 인수 분해를 적용 할 수 있다고 생각합니다 . 행렬에 음수가 아닌 고유 값이 있으므로 대각 행렬 D에는 대각선을 따라 음수가 아닌 항목이 있습니다. 그러면 쉽게 분해 할 수 있습니다 . 그리고 행렬 됩니다. 고유 분해는 수치 적으로 안정적이지 않으므로 이런 종류의 분해를 피해야한다고 생각합니다. $LDL^{T}$ $\hat{D} = \sqrt{D}$ $G = L\hat{D}$

— 윌로우 브룩
소스

나는 두 건의에 동의해야한다 : (1) 인수 분해 단일 행렬에 대한 작업을하지 않는 (그의 매트릭스 단수), 및 에르 미트 행렬의 (2) 고유 분해가 되어 자신의 고유 벡터 행렬이 단일 한, 안정적인 것으로 간주.

L D L^{T}

$LDL^T$

— Jack Poulson

1

@ JackPoulson matlab에서 단일 행렬 A를 시도하고 ldl을 실행하면 작동합니다. 0의 고유 값은 D의 대각선에서 0에 해당합니다.

— Willowbrook

2

MATLAB의 'ldl'루틴은 피벗을 사용 하여 블록 분해 , 즉 . 여기서 는 대각선 일 필요는 없습니다 ( 블록을 가질 수 있음 ). 행렬이 단수이기 때문에 0으로 나누는 것을 피하기 위해, 0 대각선 항목은 행렬의 오른쪽 아래로 피벗됩니다.

L D L^{T}

$LDL^T$

P A P^{'} = L D L^{T}

$PAP'=LDL^T$

D

$D$

2 \times 2

$2 \times 2$

— Jack Poulson