FEM에서 강성 매트릭스는 왜 양의 명확한가?

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FEM 클래스에서는 일반적으로 강성 행렬이 양의 명확한 것으로 간주되지만 그 이유를 이해할 수는 없습니다. 누구든지 설명해 줄 수 있습니까?

예를 들어, 포아송 문제를 고려할 수 있습니다.

- \nabla^{2} 유 = 에프,

$-\nabla^2 u = f,$ 강성 매트릭스는 다음과 같습니다.

{케이}_{나는 제이} = \int_{Ω} \nabla φ_{나는} \cdot \nabla φ_{제이} 디 Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$ 이것은 대칭적이고 긍정적입니다. 대칭은 명백한 속성이지만 긍정적 인 결정은 그다지 명백하지 않습니다.

finite-element matrix stiffness

— user123
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이것은 실제로 해결하려는 부분 미분 방정식에 따라 다릅니다. 관심있는 것을 추가 할 수 있습니까?

— Christian Clason

안녕하세요, @ChristianClason, 귀하의 의견에 감사드립니다. 이 문제에 대한 구체적인 예를 추가했습니다.

— user123

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주의 사항 : 경계 조건이 없으면 요소 행렬로 조립 된 전체 시스템 강성 행렬은 강체 동작의 등가를 0의 힘에 매핑해야하므로 전체 순위가 없습니다. 따라서 완전한 강성 매트릭스는 기껏해야 양의 반 정밀도 일 수 있습니다. 그러나 적절한 경계 조건을 사용하면 강체 동작이 비활성화되고 구속 된 시스템이 특이하지 않습니다. (그렇지 않으면 해결할 수 없었습니다). 따라서 실제 양의 정성을 확인하려면 경계 조건을 적용한 결과로 요약 된 행렬을 살펴 봐야합니다.

— ccorn

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이 특성은 대응하는 (약한 형태의) 부분 미분 방정식의 특성을 따릅니다. 이것은 예를 들어 유한 차분 법에 비해 유한 요소법의 장점 중 하나입니다.

이를 확인하려면 먼저 유한 요소 방법이 약한 형태의 포아송 방정식에서 시작한다는 것을 기억하십시오 (여기서는 디리클레 경계 조건을 가정합니다) : 찾기 $u\in H^1_0(\Omega)$ 그런

ㅏ (유, V) : = \int_{Ω} \nabla 유 \cdot \nabla V 디 엑스 = \int_{Ω} 에프 V 디 엑스 모든 V \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$ 여기서 중요한 속성은

\begin{matrix} (1) & ㅏ (V, V) = ” \nabla V ”_{엘^{2}}^{2} \geq 씨 ” V ”_{H^{1}}^{2} 모든 V \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$ (이것은 Poincaré의 불평등에서 비롯됩니다.)

이제 고전 유한 요소 방식은 무한 차원 공간 대체하는 바이 유한 차원 부분 공간 찾아 되도록 여기서 중요한 속성은 다음과 같습니다. 동일한 및 부분 공간 ( 적합한 이산화)를 사용하고 있습니다. 즉 여전히 $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & ㅏ (유_{h}, V_{h}) : = \int_{Ω} \nabla 유_{h} \cdot \nabla V_{h} 디 엑스 = \int_{Ω} 에프 V_{h} 디 엑스 모든 V_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (삼) & ㅏ (V_{h}, V_{h}) \geq 씨 ” V_{h} ”_{H^{1}}^{2} > 0 모든 V_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

이제 마지막 단계 : 변형 형식을 선형 방정식 시스템으로 변환하려면 의 기본 을 하고 및 , 을 . 강성 행렬 에는 (이것은 작성한 것과 일치합니다). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

이제 임의의 벡터 을 . 그럼 우리가이 과의 bilinearity (즉, 당신이 두 인수로 스칼라와 금액을 이동할 수 있습니다) 는 임의적 이기 때문에 가 양의 한정임을 나타냅니다. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{V}}^{티} 케이 \vec{V} = \sum_{나는 = 1}^{엔} \sum_{제이 = 1}^{엔} V_{나는} {케이}_{나는 제이} V_{제이} = \sum_{나는 = 1}^{엔} \sum_{제이 = 1}^{엔} ㅏ (V_{나는} φ_{나는}, V_{제이} φ_{제이}) = ㅏ (V_{h}, V_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR : 강성 매트릭스는 (자기 인접) 타원 부분 미분 방정식 의 일치하는 이산 에서 비롯되므로 양의 한정 입니다.

— 크리스찬 클라 슨
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요소의 강성이 양수가 아닌 경우 시스템이 안정적이지 않습니다. 따라서 모델이 올바르지 않을 가능성이 높습니다. 고조파 발진기의 가장 기본적인 방정식을보십시오

미디엄 {엑스}^{″} (티) + 케이 엑스 (티) = 에프 (티)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

가 음수 이면 해가 불안정합니다 (특성 방정식의 근을보십시오). 솔루션이 터질 것임을 의미합니다. 강성은 복원력이어야합니다. 적어도 물리적 스프링의 경우. 강성 매트릭스는이를 다수의 요소 (전역 강성 매트릭스)로 확장합니다. 그게 다야 그러나 같은 기본 아이디어입니다. FEM 기초는 각 요소가 그것과 관련된 강성을 갖는 구조 해석을위한 강성 매트릭스 방법에있다. $k$

— 나세르
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