Von Neumann의 안정성 분석은 비선형 유한 차분 방정식에 대해 무엇을 알려 줍니까?


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유한 차이 방법을 사용하여 다음 비선형 방정식 을 해결 하는 논문 [1]을 읽고 있습니다. 또한 Von Neumann의 안정성 분석을 사용하여 구성표의 안정성을 분석합니다. 그러나 저자가 알듯이 이것은 선형 PDE에만 적용됩니다. 따라서 저자는 비선형 항을 "고정"하여이 문제를 해결합니다. 즉, 항을 대체합니다 . 여기서 는 "로컬의 상수 값 를 나타내는 것으로 간주됩니다 ."

ut+ux+uuxuxxt=0
uuxUuxUu

그래서 내 질문은 두 가지입니다.

1 :이 방법을 해석하는 방법과 왜 작동하지 않습니까?

2 : 우리는 또한 대체 할 수 과 용어를 용어 "로컬로 상수 값을 나타내는 것으로 간주됩니다 ?"uuxuUxUxux

참고 문헌

  1. Eilbeck, JC 및 GR McGuire. "정규화 된 장파 방정식 I의 수학적 연구 : 수치 적 방법." 전산 물리학 저널 19.1 (1975) : 43-57.

1
방정식을 잘못 입력했습니다. 논문의 방정식은 RLW 방정식입니다.
Ömer

3
완전한 답변이없는 관련 질문 : scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 . 휴리스틱 스 방식으로 말하면 매우 고주파수 모드의 안정성 (오류가 발생하는 경우, 메쉬 간격 순서의 파장)에 관심이 있기 때문에 작동해야하지만 솔루션 자체는 주파수가 낮을수록 다양합니다. 따라서 계수를 동결하고 냉동 계수 PDE의 안정성을 연구해도됩니다.
Kirill

2
Kirill과 관련된 몇 가지 질문에 답변했습니다. 불행히도, 나는 RLW 방정식에 대한 결과를 알지 못하지만 해가 충분히 부드럽다면 안정성이 입증 될 수 있습니다.
David Ketcheson

답변:


1

당신이 말하는 것을 선형화라고합니다. 비선형 PDE 분석에 사용되는 일반적인 기술입니다. 행해진 것은 형식으로 방정식을 캐스트하는 것입니다.

ut+Au=0

여기서 A는 방정식의 선형화에 따른 행렬입니다.

이제 당신의 질문에

  1. 당신이 생각할 때, 그것은 어느 정도 작동하지만 어느 정도는 아닙니다. 유틸리티는 선형 시스템에서는 안정성을 입증 할 수 있지만 비선형 시스템에서는 쉽게 안정성을 입증 할 수 없습니다. 따라서 선형 결과는 비선형 시스템으로 확장됩니다. 종종 특정 경우에 다른 방법이 채택됩니다. 예를 들어

uux=12(u2)x

보존 양식입니다. 그래서,

ut+12(u2)x=0

유한 한 체적 의미로 표현 될 때 u의 진화에 한계를 준다

  1. 교체를 수행하는 유틸리티는 무엇입니까? 웨이브 방정식 양식에서 방정식을 제거합니다. 이는 솔루션이 파동 방정식으로 작동하지 않음을 의미합니다. 따라서 안정성 분석에서 테스트 솔루션은 완전히 다르고 물리적이지 않아야합니다.

2

선형화 인수를 자세히 설명하기 위해 uu_x에서 u는 u_x가 아니라 로컬로 일정하다고 가정합니다 .a) u가 미분보다 느리게 변하고 b)이 특정 경우 u_x가 로컬로 일정하다고 가정하는 경우 , 정의에 따르면 u가 국소 적으로 선형이라고 가정하면 더 높은 공간 도함수가 0을 의미하며 추가 근사 오차가 발생할뿐만 아니라 방정식에 따라 목욕물로 아기를 버릴 수도 있습니다.

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