Von Neumann의 안정성 분석은 비선형 유한 차분 방정식에 대해 무엇을 알려 줍니까?

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유한 차이 방법을 사용하여 다음 비선형 방정식 을 해결 하는 논문 [1]을 읽고 있습니다. 또한 Von Neumann의 안정성 분석을 사용하여 구성표의 안정성을 분석합니다. 그러나 저자가 알듯이 이것은 선형 PDE에만 적용됩니다. 따라서 저자는 비선형 항을 "고정"하여이 문제를 해결합니다. 즉, 항을 대체합니다 . 여기서 는 "로컬의 상수 값 를 나타내는 것으로 간주됩니다 ."

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$

u u_{x}

$uu_x$

U u_{x}

$Uu_x$

U

$U$

u

$u$

그래서 내 질문은 두 가지입니다.

1 :이 방법을 해석하는 방법과 왜 작동하지 않습니까?

2 : 우리는 또한 대체 할 수 과 용어를 용어 "로컬로 상수 값을 나타내는 것으로 간주됩니다 ?" $uu_x$ $uU_x$ $U_x$ $u_x$

참고 문헌

Eilbeck, JC 및 GR McGuire. "정규화 된 장파 방정식 I의 수학적 연구 : 수치 적 방법." 전산 물리학 저널 19.1 (1975) : 43-57.

— 사냥꾼
소스

1

방정식을 잘못 입력했습니다. 논문의 방정식은 RLW 방정식입니다.

— Ömer

3

완전한 답변이없는 관련 질문 : scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 . 휴리스틱 스 방식으로 말하면 매우 고주파수 모드의 안정성 (오류가 발생하는 경우, 메쉬 간격 순서의 파장)에 관심이 있기 때문에 작동해야하지만 솔루션 자체는 주파수가 낮을수록 다양합니다. 따라서 계수를 동결하고 냉동 계수 PDE의 안정성을 연구해도됩니다.

— Kirill

2

Kirill과 관련된 몇 가지 질문에 답변했습니다. 불행히도, 나는 RLW 방정식에 대한 결과를 알지 못하지만 해가 충분히 부드럽다면 안정성이 입증 될 수 있습니다.

— David Ketcheson

1

당신이 말하는 것을 선형화라고합니다. 비선형 PDE 분석에 사용되는 일반적인 기술입니다. 행해진 것은 형식으로 방정식을 캐스트하는 것입니다.

$u_t+Au=0$

여기서 A는 방정식의 선형화에 따른 행렬입니다.

이제 당신의 질문에

당신이 생각할 때, 그것은 어느 정도 작동하지만 어느 정도는 아닙니다. 유틸리티는 선형 시스템에서는 안정성을 입증 할 수 있지만 비선형 시스템에서는 쉽게 안정성을 입증 할 수 없습니다. 따라서 선형 결과는 비선형 시스템으로 확장됩니다. 종종 특정 경우에 다른 방법이 채택됩니다. 예를 들어

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

보존 양식입니다. 그래서,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

유한 한 체적 의미로 표현 될 때 u의 진화에 한계를 준다

교체를 수행하는 유틸리티는 무엇입니까? 웨이브 방정식 양식에서 방정식을 제거합니다. 이는 솔루션이 파동 방정식으로 작동하지 않음을 의미합니다. 따라서 안정성 분석에서 테스트 솔루션은 완전히 다르고 물리적이지 않아야합니다.

— 비 크람
소스

2

선형화 인수를 자세히 설명하기 위해 uu_x에서 u는 u_x가 아니라 로컬로 일정하다고 가정합니다 .a) u가 미분보다 느리게 변하고 b)이 특정 경우 u_x가 로컬로 일정하다고 가정하는 경우 , 정의에 따르면 u가 국소 적으로 선형이라고 가정하면 더 높은 공간 도함수가 0을 의미하며 추가 근사 오차가 발생할뿐만 아니라 방정식에 따라 목욕물로 아기를 버릴 수도 있습니다.

— 도밍고 타 벨라
소스