오른쪽이 에만있을 때 유한 요소 방법의 수렴 (Poisson eqn)

나는 부분 선형 유한 요소 근사치라는 것을 알고 있습니다. $u_h$ 의

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$ 만족시키다

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$ 단, 는 충분히 부드럽고 입니다.

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

질문 : 만약 , 우리는 하나의 유도체가 양면에 날라되는 다음 유사한 추정치를 가질 것 : $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

당신은 참조를 제공 할 수 있습니까?

생각 : 우리는 여전히 가지고 있기 때문에 에서 수렴을 얻을 수 있어야합니다 . 직관적으로, 이것은 조각 단위의 상수 함수로도 가능해야합니다. $u\in H^1_0(U)$ $L^2(U)$

— 바나나
소스

나는 당신이

조차 표준 Nitsche 트릭으로부터

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$ 를 얻는다고 생각합니다 . 예를 들어 Braess-Finite elements에서 찾을 수 있습니다.

u \in H^{1}

$u \in H^1$

— knl

예 , 이것은 표준 Aubin-Nitsche (또는 이중성 ) 기법입니다. 이 아이디어는 가 -norm을 연산자 표준으로 쓰는 고유 한 이중 공간 이라는 사실을 사용하는 것입니다. 따라서 임의의 대해 를 추정해야합니다 . 이를 위해, 우리 는 이중 문제 의 해결책 에 대한 임의의 먼저 고려 하여 를 으로 "리프트" 합니다. $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ 푸 아송 방정식의 표준 규칙 성을 사용하여 임을 알 수

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

을 삽입 하고 유한 요소 (이 경우 조각 선형) 함수에 대해 Galerkin 직교성을 사용 하면 는 추정 이것은 모든 대해 유지되므로 모든 부분 별 선형 취하면 불평등은 여전히 참 입니다. 그러므로 우리는 $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ 이것은이다 오빈 - Nitsche - 보조 정리 .

다음 단계는 이제 포아송 방정식에 대한 솔루션의 최상의 유한 요소 근사를 위해 표준 오차 추정치를 사용하는 것입니다. 는 만이 므로 보다 더 나은 추정치를 얻지 그러나 운 좋게도, 우리는 가 대신 오른쪽 보다 규칙 성이 더 높다는 사실을 사용할 수 있습니다 . 이 경우 삽입 와 로 $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ 이제 원하는 추정치를 산출합니다.

(표준 추정치에서는 유한 요소 근사 의 다항식 차수 와 실제 해 의 Sobolev 지수 이 만족 해야하므로이 인수는 부분 단위 상수 ( ) 근사에 대해서는 작동하지 않습니다 . 또한 즉, 일치 근사값 을 가짐)을 사용했습니다. 이는 부분 단위 상수에는 해당되지 않습니다.) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

참조를 요청한 이후 : Theorem 5.8.3 (Theorem 5.4.8과 함께)에서 명령문 ( 대신 음의 Sobolev 공백 대해)을 찾을 수 있습니다 . $H^{-s}$ $L^2$

Susanne C. Brenner 및 L. Ridgway Scott , MR 2373954 유한 요소 방법의 수학적 이론 , 응용 수학의 텍스트 ISBN : 978-0-387-75933-3.

— 크리스찬 클라 슨
소스

그리고 나는 :) 우리의 빛나는 새로운 인용 기능을 사용 할 수

— 기독교 Clason

귀하의 답변에 감사하지만 연속 기능은 포함되지 않습니까?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— 바나나

그렇습니다. 죄송합니다. 빽빽하지만 밀착되어 있지는 않습니다. 이중성 인수는 동일하게 작동합니다 ( 및 직접 작동). 그에 따라 답변을 편집하겠습니다.

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— Christian Clason '

광범위한 업데이트에 감사드립니다. 또 다른 빛나는 인용문을 찾기 위해

— Bananach

@Praveen 나는 당신이 여기 이론이 필요하다고 생각하지 않습니다. 를 상수 제로로 선택하십시오 .

v_{h}

$v_h$

— 바나나