행렬을 반전시키는 것이 좋지 않은 이유의 실제 예

선형 시스템을 해결하기 위해 행렬을 뒤집는 것은 시스템을 직접 해결하거나 LU, Cholesky 또는 QR 분해를 사용하는 것만 큼 정확하고 효율적이지 않기 때문에 좋은 생각이 아니라는 것을 알고 있습니다.

그러나 실제 사례로는 이것을 확인할 수 없었습니다. 이 코드를 시도했습니다 (MATLAB)

M   = 500;    
A   = rand(M,M);
A   = real(expm(1i*(A+A.')));
b   = rand(M,1);

x1  = A\b;
x2  = inv(A)*b;

disp(norm(b-A*x1))
disp(norm(b-A*x2))

잔차는 항상 같은 순서입니다 (10 ^ -13).

누군가 inv (A) * b가 A \ b보다 훨씬 덜 정확한 실제 예를 제공 할 수 있습니까?

------ 질문 업데이트 ------

답변 주셔서 감사합니다. 그러나 시스템 A x = b를 번 풀어야한다고 가정합니다 . 여기서 A 는 항상 같은 행렬입니다. 그것을 고려하십시오$n$$Ax = b$$A$

- 전체이고, 따라서 A는 - 1 보다 동일한 메모리 저장 요구 를 .$A$$A^{-1}$$A$

조건 수가 적 으므로 A - 1 을 정확하게 계산할 수 있습니다.$A$$A^{-1}$

이 경우 LU 분해를 사용하는 것보다 을 계산 하는 것이 더 효율적이지 않습니까? 예를 들어,이 Matlab 코드를 시도했습니다.$A^{-1}$

%Set A and b:
M           = 1000; 
A           = rand(M,M);
A           = real(expm(1i*(A+A.')));
b           = rand(M,1);

%Times we solve the system:
n           = 3000;

%Performing LU decomposition:
disp('Performing LU decomposition')
tic
[L,U,P]     = lu(A);
toc
fprintf('\n')

%Solving the system n times with LU decomposition:
optsL.LT    = true;   %Options for linsolve
optsU.UT    = true;
disp('Solving the system n times using LU decomposition')
tic
for ii=1:n
    x1      = linsolve(U, linsolve(L,P*b,optsL) , optsU);
end
toc
fprintf('\n')

%Computing inverse of A:
disp('Computing inverse of A')
tic
Ainv        = inv(A);
toc
fprintf('\n')

%Solving the system n times with Ainv:
disp('Solving the system n times with A inv')
tic
for ii=1:n
    x2  = Ainv*b;
end
toc
fprintf('\n')

disp('Residuals')
disp(norm(b-A*x1))
disp(norm(b-A*x2))

disp('Condition number of A')
disp(cond(A))

450에 대한 조건 수와 행렬, 잔차는 모두의 경우가 있지만, 그것만 9초 소요의 역수를 사용하는 반면, 시스템을 해결 N 배는 LU 분해를 사용하여 19 초가 걸린다.$O(10^{-11})$

일반적으로 역을 사용하기 위해 선형 시스템을 해결하는 것을 선호하는 몇 가지 주요 이유가 있습니다. 간단히:

• 조건부 번호 문제 (@GoHokies 의견)
• 드문 경우에 문제 (@ChrisRackauckas 답변)
• 효율성 (@Kirill Comment)

어쨌든 @ChristianClason이 의견에서 언급했듯이 역의 사용이 좋은 옵션 인 경우가 있습니다.

Sivan Toledo, Alex Druinsky의 노트 / 기사에서 inv (A) * b는 얼마나 정확합니까? 이 문제에 대한 몇 가지 고려 사항이 있습니다.

논문에 따르면 선형 시스템을 해결하기 위해 일반적으로 선호하는 주된 이유는이 두 추정치 안에 있습니다.$x$

$x_V$

$V$

(1) $V$

$V$$||x_V||$$||x||$

(3) 의 투영$b$$A$ 작은 특이 값과 관련된 값은 작습니다.

따라서 역 사용 여부는 응용 프로그램에 따라 다를 수 있으므로 기사가 역전 안정성을 얻기위한 조건을 충족하는지 또는 필요하지 않은지 여부를 확인할 수 있습니다.

일반적으로 선형 시스템을 해결하는 것이 더 안전합니다.

다음은 PDE의 메모리 사용과 관련하여 매우 실용적인 빠른 예입니다. 라플라스 연산자를 구별 할 때$\Delta u$예를 들어 열 방정식에서

수치 적으로 풀기 위해 희소 행렬로 끝납니다. $A$, 그리고 선 이산화 방법은 해결

표준 1D 예제는 Strang 매트릭스입니다. 암시 적 메소드는 반전해야합니다.$A$또는 어떤 형태의 $I-\gamma A$. 5 포인트의 공간 분할을 위해이 연산자에 어떤 일이 발생하는지 봅시다. Julia에서 다음을 사용하여 쉽게 생성 할 수 있습니다 SpecialMatrices.jl.

julia> using SpecialMatrices
julia> Strang(5)
5×5 SpecialMatrices.Strang{Float64}:
 2.0  -1.0   0.0   0.0   0.0
-1.0   2.0  -1.0   0.0   0.0
 0.0  -1.0   2.0  -1.0   0.0
 0.0   0.0  -1.0   2.0  -1.0
 0.0   0.0   0.0  -1.0   2.0

이 특수 행렬은 3 각형입니다 (다른 많은 이산은 띠로되어 있기 때문에 여전히 희소합니다). 즉, 3 개의 배열 만 저장하여 저장하거나이 경우 "게으름"일 수 있습니다 (즉, 배열이 필요하지 않으며 필요에 따라 값을 생성하는 "의사 배열"유형을 가질 수 있음). 이것은 매우 큰 공간 이산화에도$n$ 포인트, 희소 행렬 형식은 이것을 저장할 수 있습니다 $\mathcal{O}(3n)$ 메모리 (그리고 게으른 형식은 $\mathcal{O}(1)$!).

그러나 행렬을 반전시키고 싶다고 가정 해 봅시다.

julia> inv(collect(Strang(5)))
5×5 Array{Float64,2}:
 0.833333  0.666667  0.5  0.333333  0.166667
 0.666667  1.33333   1.0  0.666667  0.333333
 0.5       1.0       1.5  1.0       0.5
 0.333333  0.666667  1.0  1.33333   0.666667
 0.166667  0.333333  0.5  0.666667  0.833333

이 희소 행렬의 역은 밀도가 높습니다. 따라서 역의 분석 솔루션을 모르는 경우 (PDE 이산으로 인해 발생하는 대부분의 희소 행렬의 경우) 역에 필요한 메모리 양은 다음과 같습니다.$\mathcal{O}(n^2)$. 즉, 역은 엄청난 양의 추가 메모리를 차지하므로 메모리 제한은 밀도가 높은 역행렬의 크기에 따라 결정됩니다.

대신 직접 솔버 방법 \과 반복 솔버 IterativeSolvers.jl는$Ax=b$ 컴퓨팅없이 $A^{-1}$따라서 저장 해야하는 메모리 요구 사항 만 있습니다. $A$. 이를 통해 해결할 수있는 PDE의 크기가 크게 확장 될 수 있습니다.

다른 사람들이 언급했듯이 조건 번호와 수치 오류는 또 다른 이유이지만 희소 행렬의 역수가 밀도가 높다는 사실은 "이것은 나쁜 생각입니다"라는 매우 분명합니다.