유한 차분 법에 대한 폰 노이만 안정성 분석의 대안

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나는 다음과 같이 주어진 결합 된 1 차원 다공성 탄성 방정식 (바이오 트 모델) 을 해결하기 위해 노력 하고 있습니다.

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} 유}{\partial {엑스}^{2}} + \frac{\partial 피}{\partial 엑스} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

도메인

에서 경계 조건이있는

:

\frac{\partial}{\partial 티} [γ 피 + \frac{\partial 유}{\partial 엑스}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} 피}{\partial {엑스}^{2}}] = 큐 (엑스, 티)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

에서및 $p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ $x=0$ 일 때입니다. $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

나는 중심 유한 차분 법을 사용하여이 방정식들을 이산했다 :

(λ + 2 μ) \frac{유_{나는 + 1}^{티 + 1} - 2 유_{나는}^{티 + 1} + 유_{나는 - 1}^{티 + 1}}{Δ {엑스}^{2}} + \frac{피_{나는 + 1}^{티 + 1} - 피_{나는 - 1}^{티 + 1}}{2 Δ 엑스} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

나는 현재 일관성과 안정성을 분석하여 체계의 수렴에 대한 세부 사항을 연구하고 있습니다. 일관성 부분은 나에게 매우 간단 해 보이지만 안정성 분석에 이미 어려움을 겪고 있습니다. 우선, 두 개의 변수와 두 개의 방정식이 있습니다. 둘째, 두 번째 방정식에는 혼합 시공간 도함수 항도 있습니다. 폰 노이만 안정성 분석에 익숙하며이 방법으로 안정성을 설정하기가 매우 어렵다는 것을 알 수 있습니다. 내가 사용할 수있는 폰 노이만 분석에 대한 대안이 있습니까?

— 바울
소스

1

t

$t$

x

$x$

u

$u$

p

$p$

u

$u$

시스템으로 작성하든 스칼라 PDE로 작성하든 동일한 문제입니다.

— David Ketcheson

7

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 나는 & 나는 \end{matrix}] \frac{디}{디 티} [\begin{matrix} 피_{h} (티) \\ 유_{엑스, h} (티) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 피_{h} (티) \\ 유_{엑스, h} (티) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 큐_{h} (티) \\ 0 \end{matrix}] (※)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

이제 미분 대수 (DAE) 구조가 분명합니다. 변수의 경우 미분 방정식과 대수 방정식이 있습니다.

$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

이 방법을 사용하면 안정성 분석을 해결할 수 있습니다.

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

부록 : DAE는 방정식을 구분하지 않고 ODE로 변환 할 수있는 경우 인덱스 1이라고합니다.

DAE는 형식입니다

[\begin{matrix} {이자형}_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{와이} + [\begin{matrix} ㅏ_{1} \\ ㅏ_{2} \end{matrix}] 와이 = 에프 .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— 얀
소스

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ 나는 & 나는 \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

@Paul 참고할 정리를 찾지 못 했으므로 답에 인수를 삽입 할 것입니다.

— Jan

4

나는 여기에 주어진 방정식에 익숙하지 않지만 과정 과정에서 수치 체계의 안정성을 확인하는 다른 방법을 배운 것을 기억합니다. 이를 수식 수식이라고합니다.

여기에 좋은 참고 자료가 있습니다.

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

상기 참고 문헌에서, 변형 방정식 분석에 기초한 안정성 이론과 Von Neumann 안정성 분석 사이의 연결이 확립된다.

약간의 온라인 검색 후, 나는 다음과 같은 참조를 보았습니다.

이 논문은 지진 주파수에서 Biot의 공 극성 방정식의 유한 차분 모델링에 대해 설명합니다. 수치 체계의 안정성에 대한 섹션도 있습니다.

이 논문 은 결합 시스템을 분리하고 수치 체계의 안정성을 확인하는 솔루션 전략을 제시합니다.

— Subodh
소스

위의 방정식에 대해 수정 된 방정식 분석을 수행하지는 않았지만 Von Neumann 분석의 대안을 묻는 질문에 위의 답변을 썼습니다. 질문에 대답하지 않을 수도 있습니다. 그러나 누군가는 나열된 참고 문헌이 자신의 작업에 유용하다는 것을 알 수 있습니다.

— Subodh

참조 주셔서 감사합니다! Modified Equation Analysis 논문에 필요한 형식이 내가 사용하는 방정식에 맞지 않지만 새로운 분석 기술을 배우는 것은 매우 흥미 롭습니다!

— Paul