유한 차분 법에 대한 폰 노이만 안정성 분석의 대안


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나는 다음과 같이 주어진 결합 된 1 차원 다공성 탄성 방정식 (바이오 트 모델) 을 해결하기 위해 노력 하고 있습니다.

(λ+2μ)2엑스2+엑스=0
도메인Ω=(0,1)에서 경계 조건이있는x 2 ]=q(x,t):
[γ+엑스]κη[2엑스2]=(엑스,)
Ω=(0,1)

에서X=0u는=0,P=0,(λ+2μ)엑스=0엑스=0x=1일 때x =0입니다.=0,엑스=0엑스=1

나는 중심 유한 차분 법을 사용하여이 방정식들을 이산했다 :

γp t + 1 ip t i

(λ+2μ)나는+1+12나는+1+나는1+1Δ엑스2+나는+1+1나는1+12Δ엑스=0
γpit+1pitΔt+ui+1t+1ui1t+12ΔxΔt[ui+1tui1t2ΔxΔt]κη[pi+1t+12pit+1+pi1t+1Δx2]=qit+1

나는 현재 일관성과 안정성을 분석하여 체계의 수렴에 대한 세부 사항을 연구하고 있습니다. 일관성 부분은 나에게 매우 간단 해 보이지만 안정성 분석에 이미 어려움을 겪고 있습니다. 우선, 두 개의 변수와 두 개의 방정식이 있습니다. 둘째, 두 번째 방정식에는 혼합 시공간 도함수 항도 있습니다. 폰 노이만 안정성 분석에 익숙하며이 방법으로 안정성을 설정하기가 매우 어렵다는 것을 알 수 있습니다. 내가 사용할 수있는 폰 노이만 분석에 대한 대안이 있습니까?


1
엑스


시스템으로 작성하든 스칼라 PDE로 작성하든 동일한 문제입니다.
David Ketcheson

답변:


7

엑스엑스

[00나는나는][h()엑스,h()]+[hhΔh0][h()엑스,h()]=[h()0]()
1h

이제 미분 대수 (DAE) 구조가 분명합니다. 변수의 경우 미분 방정식과 대수 방정식이 있습니다.

[hh나는나는]

이 방법을 사용하면 안정성 분석을 해결할 수 있습니다.

2()Δhh

()엑스

부록 : DAE는 방정식을 구분하지 않고 ODE로 변환 할 수있는 경우 인덱스 1이라고합니다.

DAE는 [ E 1 0 ] 형식입니다 .

[이자형10]와이˙+[12]와이=에프.
[이자형12]와이~와이[이자형12][이자형~11이자형~12~21~22]~222~11이자형~12~221~21

()2: =[h h]와이~2(h,엑스,h)와이~2()


[hh나는나는]

@Paul 참고할 정리를 찾지 못 했으므로 답에 인수를 삽입 할 것입니다.
Jan

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나는 여기에 주어진 방정식에 익숙하지 않지만 과정 과정에서 수치 체계의 안정성을 확인하는 다른 방법을 배운 것을 기억합니다. 이를 수식 수식이라고합니다.

여기에 좋은 참고 자료가 있습니다.

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

상기 참고 문헌에서, 변형 방정식 분석에 기초한 안정성 이론과 Von Neumann 안정성 분석 사이의 연결이 확립된다.

약간의 온라인 검색 후, 나는 다음과 같은 참조를 보았습니다.

논문은 지진 주파수에서 Biot의 공 극성 방정식의 유한 차분 모델링에 대해 설명합니다. 수치 체계의 안정성에 대한 섹션도 있습니다.

논문 은 결합 시스템을 분리하고 수치 체계의 안정성을 확인하는 솔루션 전략을 제시합니다.


위의 방정식에 대해 수정 된 방정식 분석을 수행하지는 않았지만 Von Neumann 분석의 대안을 묻는 질문에 위의 답변을 썼습니다. 질문에 대답하지 않을 수도 있습니다. 그러나 누군가는 나열된 참고 문헌이 자신의 작업에 유용하다는 것을 알 수 있습니다.
Subodh

참조 주셔서 감사합니다! Modified Equation Analysis 논문에 필요한 형식이 내가 사용하는 방정식에 맞지 않지만 새로운 분석 기술을 배우는 것은 매우 흥미 롭습니다!
Paul
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