움직이는 메시 생성의 기본 원리는 무엇입니까?

나는 advection-diffusion 문제를 위해 움직이는 메쉬를 구현하는 데 관심이 있습니다. Adaptive Moving Mesh Methods 는 유한 차분을 사용하여 1D로 버거 방정식에 대해 이것을 수행하는 좋은 예입니다. 누군가가 움직이는 메쉬로 유한 차분을 사용하여 1D 대류 확산 방정식을 해결하는 효과적인 예를 제공 할 수 있습니까?

예를 들어 보수적 인 형태로 방정식은

여기서 는 속도 (공간의 함수)입니다. 초기 조건 는 (예를 들어) 초기 조건이 예리한 기울기를 갖는 좌측에서 우측으로 (예를 들어 파이프를 따라) 이동하는 유동 종을 지정할 수있다.u ( 0 , x $a(x)$$u(0,x)$

움직이는 메시의 등분 포 문제를 어떻게 해결해야합니까 (De Boor의 알고리즘 또는 다른 방법으로)? 귀하의 답변을 코드로 쉽게 더 잘 번역 할 수 있다면 파이썬으로 직접 구현하고 싶습니다!

현상금 이전의 오래된 질문

1. 시스템의 속성을 기반으로 적응 메시를 생성하는 기본 접근법은 무엇입니까? 그래디언트가 큰 곳의 측정 기준으로 플럭스를 사용해야합니까?
2. 반복적 인 (시간 스위프) 솔루션을 찾고 있기 때문입니다. 기존 그리드에서 새 그리드로 보간하는 것이 중요하다고 생각합니다. 일반적인 방법은 무엇입니까?
3. 나는 단순한 문제 (예를 들어 advection 방정식)에 대한 효과적인 예를 보는 데 정말로 관심이 있습니다.

문제의 특성에 대한 약간의 배경 지식. 1D 커플 링 방정식 시스템을 시뮬레이션하고 있습니다.

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

일련의 방정식은 세 번째 방정식이 다른 두 방정식에 결합되는 두 종의 전파 확산 문제를 설명합니다. 솔루션은 그리드 중심 근처에서 빠르게 변경됩니다 (아래 그림 참조).

아래쪽 그래프의 로그 스케일에서 와 대한 솔루션 은 크기에 따라 다릅니다. 상단 그래프 ( )에는 중심에 불연속성이 있습니다. 나는이 시스템을 지역별 Péclet number 값에 따라 지배적 인 중심에서 상향으로 적응할 수있는 적응성 상향 풍 으로 해결하고있다 . 시간에 사다리꼴 통합 ( "Crank-Nicolson")으로 시스템을 암시 적으로 해결하고 있습니다.대 $u$$v$$w$

이 문제에 적응 형 그리드를 적용하는 데 관심이 있습니다. 그렇지 않으면 모양 피크 ( ) 매개 변수 의 세부 정보 가 손실 될 수 있기 때문에 중요하다고 생각합니다 . 이 질문 과 달리 메쉬 생성을 위해 간단하게 알고리즘을 적용하고 싶습니다.$w$

이것이 대류-확산 문제이기 때문에, 셀 경계에서 와 의 플럭스 에 기초한 적응 적 메시 체계를 상상할 수있다 . 이것은 값이 빠르게 변하는 곳을 나타냅니다. 의 피크는 또한 플럭스가 가장 큰 곳에 해당한다.대 $u$$v$$w$

적응 형 그리드는 높은 유동장 기울기 영역에서 그리드 포인트를 자동으로 클러스터링하는 그리드 네트워크입니다. 흐름 필드 속성의 솔루션을 사용하여 물리적 평면에서 격자 점을 찾습니다. 적응 그리드는 시간에 따라 흐름 필드 변수를 계산하는 지배 흐름 필드 방정식의 시간 종속 솔루션과 함께 시간 단위로 진화합니다. 해가 진행되는 동안 물리적 평면의 격자 점은 큰 흐름 장 기울기 영역에 '적응'되도록 이동합니다. 따라서, 물리적 평면의 실제 그리드 포인트는 유동장 솔루션 동안 지속적으로 움직이고 유동 솔루션이 정상 상태에 도달 할 때만 정지 상태가됩니다.

그리드 적응은 꾸준하고 불안정한 유형의 문제 모두에 사용됩니다. 일정한 흐름 문제가 발생하는 경우, 미리 정해진 횟수의 반복 후에 그리드가 조정되고 솔루션이 수렴되는 시점에서 그리드 적응이 중지됩니다. 시간이 정확한 솔루션의 경우, 그리드 포인트 모션 및 세분화는 물리적 문제의 시간 정확한 솔루션과 함께 수행됩니다. 이를 위해서는 물리적 문제와 그리드 이동 또는 그리드 적응을 설명하는 PDE의 시간을 정확하게 결합해야합니다.

새로운 구성을 계산하려면 메시 생성 및 이전 경험에 대한 모범 사례 지침에 따라 달라지며 많은 양의 수치 오류가 발생합니다. 그리드 적응 방법은 솔루션 품질을 크게 향상시키고 달성 할 수있는 그리드 해상도의 한계를 정의하는 제한이 없기 때문에 더 나은 결과를 약속합니다.

$h$$r$$p$$rp$$hp$$r$$h$

$h$

$h$

$r$

r- 어댑티브 방식은 메시와 그 연결성을 로컬로 토폴로지 적으로 변경하는 대신 고정 된 총 메시 포인트 수의 위치를 ​​이동하여 해상도를 로컬로 변경합니다.

$p$

유한 체적 또는 유한 요소 방법보다는 유한 요소 접근 방식에서 매우 널리 사용되는 그리드 적응 방법입니다. 동일한 기하학적 요소 순서로 보간 함수의 다항식을 풍부하게하여 솔루션의 오류를 줄입니다. 여기서 새로운 메쉬, 계산할 형상 및이 방법의 또 다른 장점은 감도가 낮고 불규칙하거나 곡선 경계를 더 잘 근사 할 수 있다는 것입니다 종횡비와 기울기. 이 때문에 구조 적용 분야에서 매우 유명합니다.

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ 대략적으로 많이 사용되는 그리드 적응 방식에 기반한 특징 기반은 솔루션의 특징을 그리드 적응의 추진력으로 사용합니다. 이들은 종종 솔루션 그라디언트 및 솔루션 곡률과 같은 솔루션의 기능을 사용합니다. 솔루션 구배가 큰 흐름 영역은 더 많은 점으로 해결되며 최소 중요도의 영역은 조 대화됩니다. 이로 인해 경계층, 충격, 분리선, 정체 점 등과 같이 물리적으로 특정한 영역이 구체화 될 수 있습니다. 경우에 따라 그라디언트 기반 구체화는 실제로 솔루션 오류를 증가시킬 수 있습니다. 견고성 및 기타.

$2.Truncation-error-based-adaption$ 잘림 오차는 부분 미분 방정식과 이산화 된 방정식의 차이입니다. 잘림 오류는 적응이 필요한 위치를 찾는 데 더 적합한 방법입니다. 잘림 오류 기반 적응의 기본 개념은 시뮬레이션 영역 전체에 오류를 등분 산하여 총 이산화 오류를 줄이는 것입니다. 간단한 방정식의 경우 절단 오류의 평가가 가장 쉬운 작업이지만 복잡한 체계의 경우 어려운 점이 있으므로 해당 목적에 대해 다른 접근 방식이 필요합니다. 간단한 이산화 체계의 경우 잘림 오류를 직접 계산할 수 있습니다. 잘림의 직접 평가가 어려운보다 복잡한 체계의 경우 잘림 오류를 추정하는 방법이 필요합니다.

$3.Adjoint-based-adaptation$

모두 제일 좋다!

$References:-$

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나는 이것에 대한 좋은 대답을 찾고 있었다. 다단계 적응 형 그리드를 사용하여 정제를 위해 일종의 기준을 사용합니다. FEM을 수행하는 사람들은 정제 기준으로 사용하는 (계산적으로는) 저렴하고 엄격한 오류 추정을 즐깁니다. FDM / FVM을 수행하는 데있어, 그러한 추정치를 찾지 못했다.

이러한 맥락에서, 구체화에 대해 엄격하게, 즉 실제 오차의 일부 추정에 기초하여 구체화하려는 경우 , (거의) 유일한 선택은 Richardson Extrapolation입니다. 예를 들어, Berger와 Oliger (1984) 는 블록 구조의 AMR 쌍곡선 솔버에 사용되었습니다. 이 방법론은 거의 모든 문제에 대해 Richardson Extrapolation을 사용할 수 있다는 점에서 일반적입니다. 그것의 유일한 문제는 특히 일시적 문제의 경우 비싸다는 것입니다.

Richardson Extrapolation 외에 다른 모든 기준 (내 겸손한 견해)은 임시적입니다. 예. "관심 수량"에 특정 임계 값을 설정하고이를 기반으로 조정할 수 있습니다. 플럭스 또는 수량의 파생물을 사용하여 일부 큰 기울기를 경고하고 사용할 수 있습니다. 또는 인터페이스를 추적하는 경우 인터페이스에 얼마나 가까이 있는지에 따라 세분화 할 수 있습니다. 물론이 모든 것들이 매우 저렴하지만 그들에 대해 엄격한 것은 없습니다.

그리드 사이의 보간에 관해서는 일반적으로 최소한 해결만큼 정확한 것이 필요합니다. 때로는 특정 특성을 만족시키는 보간을 구축하는 것이 가능합니다. 예를 들어 질량을 보존하거나 볼록하므로 새로운 극한을 도입하지 않습니다. 이 마지막 속성은 때때로 전체 체계의 안정성에 매우 중요합니다.

실제로 1D라면 여기에 적응 형 메시가 필요하지 않을 것입니다. 이러한 간단한 문제의 경우 현대식 워크 스테이션의 컴퓨팅 성능으로 정적 그리드로 필요한 모든 것을 해결할 수 있습니다. 그러나 시간 통합 과정에서 수치 분해능이 강조되는 영역을 주기적으로 식별하고 거기에 그리드 포인트를 추가하고 (과도하게 해결 된 영역에서 그리드 포인트를 제거) 새 그리드에 보간하는 것이 매우 합리적인 전략입니다. 그러나 보간에 많은 비용이들 수 있으므로 전체 계산에 수치 오류가 발생하기 때문에 너무 자주 수행해서는 안됩니다.