Newton-Raphson 반복을 사용하지 않고 비선형 PDE를 해결할 수 있습니까?

나는 일부 결과를 이해하려고 노력하고 있으며 비선형 문제를 해결하는 것에 대한 일반적인 의견에 감사드립니다.

피셔 방정식 (비선형 반응-확산 PDE),

u_{t} = d u_{x x} + β u (1 - u) = F (u)

$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$

신중한 형태로

u_{j}^{'} = L u + β u_{j} (1 - u_{j}) = F (u)

$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$

여기서 은 미분 연산자이고 은 이산화 스텐실입니다. $\boldsymbol{L}$ $\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$

방법

안정성과 무제한 시간 단계가 필요하기 때문에 암시 적 체계를 적용하고 싶습니다. 이 목적을 위해 -method를 사용하고 있습니다 ( 은 완전히 암시 적 체계를 제공하고 는 사다리꼴 또는 "Crank-Nicolson"체계를 제공함), $\theta$ $\theta=1$ $\theta=0.5$

u_{j}^{'} = θ F (u^{n + 1}) + (1 - θ) F (u^{n})

$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$

그러나 비선형 문제의 경우 방정식을 선형 형식으로 작성할 수 없으므로이 작업을 수행 할 수 없습니다.

이 문제를 해결하기 위해 두 가지 수치 적 접근 방식을 탐색했습니다.

IMEX 방법

$u_{j}^{'} = \underset{θ - method diffusion term}{\underset{⏟}{θ L u^{n + 1} + (1 - θ) L u^{n}}} + \underset{Fully explicit reaction term}{\underset{⏟}{β u_{j}^{n} (1 - u_{j}^{n})}}$ $u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$
가장 분명한 경로는 반응 항의 비선형 부분을 무시하고 반응 항을 가장 좋은 값, 즉 이전 시간 단계의 값으로 업데이트하는 것입니다. IMEX 방법이 발생합니다.
뉴턴 솔버

ν^{k + 1} = ν^{k} - (I - θ τ A^{n})^{- 1} (ν^{k} - u_{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

Newton-Raphson 반복을 사용하여 전체 방법 방정식을 풀면 미래 솔루션 변수를 찾을 수 있습니다. 여기서 는 반복 인덱스 ( )이고 은 의 야 코비 행렬입니다 . 여기서 반복 변수에 기호를 사용하여 실시간 시점 에서 방정식의 해와 구별됩니다 . Jacobian이 모든 반복으로 업데이트되지 않기 때문에 이것은 실제로 수정 된 Newton 솔버입니다. $\theta$ $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$

결과

수치 방법의 피셔 방정식 비교.

위의 결과는 상당히 큰 시간 단계에 대해 계산되며 시간 단계 접근 방식과 전체 뉴턴 반복 솔버의 차이를 보여줍니다.

내가 이해하지 못하는 것 :

시간-스텝핑 방법이 "OK"를하는 것에 놀랐지 만 시간이 지남에 따라 분석 솔루션보다 뒤쳐집니다. ( NB 더 작은 시간 단계를 선택한 경우 시간 단계 접근 방식은 결과를 분석 모델에 제공합니다). 시간 단계 접근 방식이 왜 비선형 방정식에 합리적인 결과를 제공합니까?
뉴턴 모델은 훨씬 나아졌지 만 시간이 지남에 따라 분석 모델을 이끌 기 시작합니다. 왜 시간이 지남에 따라 뉴턴 접근법의 정확도가 떨어 집니까? 정확성을 향상시킬 수 있습니까?
많은 반복 후에 수치 모델과 분석 모델이 갈라지기 시작하는 일반적인 특징이있는 이유는 무엇입니까? 시간 단계가 너무 커서 이것이 항상 발생합니까?

— 보이 파렐
소스

Hairer / Nørsett / Wanner와 같은 ODE 솔버의 기본 오류 분석과 일부 안정성 분석을 읽는 것이 좋습니다. 그러면 대부분의 질문에 대답 할 것입니다.

— Guido Kanschat

θ

$\theta$

안녕하세요 @Jan 모든 것이 있다고 생각합니다. 도와 주셔서 감사합니다.

— boyfarrell

답변:

{\dot{u}}_{h} (t) = F_{h} (t, u_{h} (t)), on [0,T], u_{h} (0) = α .

$\dot u_h(t) = F_h(t,u_h(t)), \text{ on [0,T] }, u_h(0) = \alpha.$

Φ

$\Phi$

u_{h}^{n}

$u_h^n$

t = t^{n}

$t=t^n$

u_{h}^{n + 1}

$u_h^{n+1}$

t = t^{n + 1} := t^{n} + τ

$t=t^{n+1}:=t^n+\tau$

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{e} (t^{n}, τ, u_{h}^{n}),

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_e(t^n,\tau,u_h^n),\quad \quad \quad$

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{i} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}), (*)

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_i(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n), \quad \quad \quad (*)$

또는 조합 모두 ( ' IMEX는 한 단계 시간 스테핑 계획'을 @Jed 브라운의 답변을 참조).

$u_h^{n+1}$ $(*)$

그리고 내 대답은 단일 단계 방법의 수치 분석 결과에 기반합니다.

$F_h$
명시 적 구성표가 더 나은 예를 찾을 수 있습니다. (이론적으로 예제에서 시간을 되돌리고 터미널 값에서 시작하여 암시 적 및 명시 적 교환을 찾을 수 있습니다.) Newton 오류를 충분히 작게 만들면 시간 단계를 줄이거 나 시간을 사용하여 정확도를 향상시킬 수 있습니다. 높은 단계의 스테핑 방식.
$C$ $err \approx C \tau^p$ $p>0$ $\tau$

더 많은 언급과 최종 답변 :

IMEX 방식을 사용하면 비선형 해석을 피하는 것만으로 선형 부분 만 암시 적으로 처리 할 수 있습니다. Jed Brown의 답변을 참조하십시오.
$u_{h}^{n + 1} = Φ_{m} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n - 1}) .$ $u_h^{n+1} = \Phi_m(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n,u_h^{n-1}).$

$(*)$

— 얀
소스

그렇습니다. 저는 표준 항차 스텐실을 확산 항에 적용했습니다. 안정적인 시간 단계가 비현실적으로 작기 때문에 (내가 해결하려는 실제 문제에 대해) 명시 적 체계를 사용할 수 없습니다. 이것이 IMEX 또는 암시 적 옵션을 탐색하는 이유입니다. 세 번째 포인트와 관련하여 오류 누적을 피하려면 다단계 방법을 사용해야합니다. 위에서 사용했던 크랭크-니콜슨 (Crank-Nicolson) 방식은 (Newton 솔버와 함께) 다단계 방법으로 분류되어 있습니까 (두 시점이 있습니다)? Newton 솔버 방법을 사용할 때 시간이 지남에 따라 오류가 증가하는 것에 놀랐습니다.

— boyfarrell

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ (t^{n}, τ^{n}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n + 1})

$u_h^{n+1}=u_h^n + \Phi(t^n,\tau^n,u_h^n,u_h^{n+1})$

CN 방법에 대해 설명해 주셔서 감사합니다. 예, 왜 다단계 방법이 오류 누적이 더 낮은 것 같습니다. 뉴턴 솔버에 오류가 발생하는 이유는 단일 단계 방법이기 때문에 이해합니다. 그건 그렇고, 나는 당신이 파이썬을 좋아한다는 것을 알고 있습니다. 나는 scipy, numpy 및 matplotlib, gist.github.com/danieljfarrell/6353776을

— boyfarrell

Trefethen 등 의 논문 링크를 제거했습니다 . 알. IMEX 체계에 대해 배울 수있는 더 나은 참조가 있기 때문에 내 대답에서 고차원 IMEX 통합에 대해 설명합니다.

— Jan

짧은 답변

2 차 정확도 만 요구하고 포함 된 오차 추정이 필요하지 않은 경우 Strang splitting (반 반응 단계, 전체 확산 단계, 반 반응 단계)에 만족할 것입니다.

긴 대답

선형 반응에서도 반응 확산은 분할 오류를 나타내는 것으로 유명합니다. 실제로, 부정확 한 정상 상태로의 "수렴", 한계주기 동안 정상 상태를 착각, 안정적이고 불안정한 구성을 혼동하는 등의 상황이 훨씬 더 나빠질 수 있습니다. 이에 대한 계산 물리학 자의 관점은 Ropp, Shadid, Ober (2004) 및 Knoll, Chacon, Margolin 및 Mousseau (2003)를 참조하십시오. 수주 조건에 대한 수학자의 분석은 뻣뻣한 ODE에 대한 Hairer and Wanner의 저서 (Rosenbrock-W 방법은 선형 암시 적 IMEX 방법), Kennedy and Carpenter (2003), 비선형 암시 적 IMEX "additive"Runge-Kutta, 그리고 에밀 콘 스탄 티네 스쿠의 페이지 최근 IMEX 방법에 대한.

일반적으로 IMEX 메소드는 기본 암시 적 및 명시 적 메소드보다 많은 주문 조건을 갖습니다. IMEX 분석법 쌍은 원하는 선형 및 비선형 안정성으로 설계 될 수 있으며 분석법 의 설계 순서까지 모든 주문 조건 을 충족 합니다 . 모든 주문 조건을 만족하면 각 체계의 오류와 동일한 규모의 점근 분할 오류가 별도로 유지됩니다. 사전 점근 법 (대형 시간 단계 / 정확도 요구 사항)에 대해서는 아무 것도 말하지 않지만 각 부분의 분리 해상도보다 더 엄격하지는 않습니다. 어쨌든, 분할 에러는 임베디드 에러 추정기 (적응 에러 제어를 사용하는 경우)에서 볼 수 있습니다.

PETSc는 Rosenbrock-W 및 추가 Runge-Kutta 제품군 의 IMEX 방법이 많이 있으며 다음 릴리스에서 외삽 및 선형 다단계 IMEX를 갖게됩니다.

면책 조항 : 나는 PETSc 시간 통합 지원을 많이 작성했으며 Emil과 협력했습니다 (위 링크).

— 제드 브라운
소스

나는 물리학적인 관점에서 분명히 접근하고 있으므로 모든 용어에 익숙하지 않기 때문에 모든 기술적 세부 사항을 따르는 데 약간의 시간이 걸립니다. 나는 실제로 실험 론자입니다! 주문 조건에 대해 좀 더 설명해 주시겠습니까? IMEX는 Jan이 언급 한 이러한 다단계 방법입니까?

— boyfarrell

차수 조건은 정확도 순서를 갖도록 만족되어야하는 ODE 방법의 계수 (예 : Runcher-Kutta 방법에 대한 Butcher tableau의 항목) 간의 관계입니다. 주문 조건은 ODE 통합 방법을 설계하는 모든 책이나 논문에서 논의되지만 기본적으로 Taylor 확장에서 파생 상품과 일치하는 용어를 반복적으로 적용하는 것입니다. 고차 방법에서는 차수 조건이 빠르게 증가하므로 고차 방법을 설계하기가 어렵습니다. 주문 조건이 서로 호환되지 않음을 보여줌으로써 장벽이 설정됩니다.

— Jed Brown