왜“제로 패딩이 주파수 분해능을 증가 시키지는 않는다”고 말하는가?

여기에 주파수의 정현파 f = 236.4 Hz(길이 10 밀리 초 N=441, 샘플링 속도의 포인트가 있음 fs=44100Hz)와 제로 패딩이없는 DFT가 있습니다 .

우리가 DFT를 볼 수있는 유일한 결론은 "주파수는 대략 200Hz"입니다.

다음은 제로 패딩이 큰 신호 및 DFT입니다 .

이제 우리는 훨씬 더 정확한 결론을 줄 수 있습니다 . "스펙트럼의 최대 값을주의 깊게 살펴보면 주파수 236Hz를 추정 할 수 있습니다"(확대하여 최대 값이 236에 가깝다는 것을 알았습니다).

내 질문은 : 왜 우리는 "제로 패딩은 해상도를 증가시키지 않는다"고 말 합니까? (이 문장을 자주 보았을 때 "보간 만 추가합니다"라고 말합니다)

=> 내 예제에서 제로 패딩을 사용하면보다 정확한 해상도로 올바른 주파수를 찾을 수있었습니다!

이 맥락에서 해상도 는 매우 특정한 정의를 가지고 있습니다. 근처 주파수에서 두 개의 개별 톤 을 해결 하는 능력을 말합니다 . 스펙트럼 추정의 샘플 속도가 증가했지만 236Hz 및 237Hz와 같은 두 가지 톤을 구별 할 수있는 능력이 없습니다. 대신, 제로 패딩을 얼마나 많이 적용하든 단일 블롭으로 "용융"됩니다.

해상도를 높이는 해결책은 더 오랜 시간 동안 신호를 관찰 한 다음 더 큰 DFT를 사용하는 것입니다. 이로 인해 너비가 DFT 크기에 반비례하는 메인 로브가 생성되므로 충분히 오랫동안 관찰하면 실제로 서로 가까운 여러 톤의 주파수를 확인할 수 있습니다.

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이것이 어떻게 나타나는지 알아보기 위해 여기에 두 개의 신호, 원래 정현파 및 0에서 100Hz만큼 주파수가 다른 신호의 추가에 대한 확대 FFT 플롯이 있습니다.

플롯의 100Hz 차이 끝 (왼쪽)에서만 두 가지를 구별 (해결) 할 수 있습니다.

아래 플롯을 생성하기위한 Scilab 코드.

f = 236.4;
d = 10;
N=441;
fs=44100;
extra_padding = 10000; 

t=[0:1/fs:(d/1000-1/fs)]
ff = [0:(N+extra_padding-1)]*fs/(N+extra_padding);

x = sin(2*%pi*f*t);

XX = [];

for delta_f = [0:100];
    y = sin(2*%pi*(f+delta_f)*t);
    FFTX = abs(fft([x+y zeros(1,extra_padding)]));
    XX = [XX; FFTX];
end

mtlb_axis([0 1300 0 500])

figure(1);
clf
[XXX,YYY] = meshgrid(ff,0:100);
mesh(XXX(1:100,[50:90]),YYY(1:100,[50:90]),XX(1:100,[50:90]))

"해결"이라는 용어에는 여러 가지 의미가 있으므로 두 가지 다른 의미를 사용할 때 의사 소통을 시도하는 사람들을 혼동시킬 수 있습니다.

광학적 인 관점에서, 하나의 모호한 얼룩 대신에 명확하게 분리 된 두 개의 지점 (또는 스펙트럼에서 인접한 두 개의 피크)을 해결할 수 있다는 점에서 제로 패딩은 도움이되지 않습니다. 이것은 제로 패딩이 해상도를 증가시키지 않는다고 말할 때 가장 많이 사용되는 의미입니다.

해상도 요구 사항에 스펙트럼 피크 사이의 딥 (예 : 최소 3dB 낮추기)이 필요한 경우 해상도는 FFT 빈 간격보다 훨씬 낮습니다 (예 : Fs / N이 아니라 2 배에서 3 배 이상). 사용 된 윈도 잉에 따라. 해상도에 대한 약한 요구 사항은 DFT의 직교 기준 벡터 (예 : Fs / N)의 주파수 간격 일 수 있습니다.

점을 표시하는 관점에서, 예를 들어 0 패딩은 DPI (인치당 플롯 점) 해상도와 같이 플롯 할 점을 더 많이 제공합니다. 그러면 안구로 극도를 쉽게 골라 낼 수 있습니다. 그러나 제로 패딩없이 고품질 플롯 보간 (Sinc interpolation)을 수행하면 얻을 수있는 것과 동일한 점이므로 제로 패딩이 없으면 계산할 수없는 정보가 실제로 추가되지 않습니다.

제로 패딩되지 않은 윈도우 FFT 결과의 피치 추적, 포물선 또는 Sinc 보간 (FFT 결과 빈 사이의 보간)은보다 계산 집약적 인 긴 제로 패딩 FFT 플롯에서와 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 따라서 제로 패딩은 제로 패딩 및 보간되지 않은 피크 피킹보다 "더 나은"피치 추적 결과를 제공하지만 보간을 사용하는 것보다 훨씬 덜 효율적입니다.

예제에 노이즈를 추가하지만 신호보다 약간 작은 경우 제로 패딩 피크는 0이 아닌 패딩 피크처럼 정확하지 않을 수 있습니다. 따라서보다 일반적인 경우에는 이전보다 더 정확한 "정확한"주파수를 찾지 못했을 수 있습니다. 제로 패딩은 노이즈로 인한 부정확 한 결과 만 보간하므로 분해능을 높이 지 않는 다른 이유가 있습니다.