선형 시스템이 정현파 충실도를 나타내는 이유는 무엇입니까?

사인파 충실도에 대한 증거를 찾고 있습니다. DSP에서 우리는 선형 시스템에 대해 많은 것을 연구합니다. 선형 시스템은 균일하고 부가 적입니다. 신호가 사인파 또는 코스 파인 경우 출력이 위상 또는 진폭 만 변경한다는 것이 만족스러운 조건입니다. 왜? 사인파가 입력으로 제공 될 때 출력이 완전히 다른 출력이 될 수없는 이유는 무엇입니까?

다른 답변에 대한 시각적으로 보완

선형적이고 시간이 변하지 않는 시스템에 대해 이야기하고 있습니다.

지수 함수에는 하나의 고유 한 속성이 있으며 실제로 정의 할 수 있습니다. 시간 변환을 수행하면 동일한 함수에 상수가 곱해집니다. 그래서

$$e^{t-t_0}=e^{-t_0}e^t$$

빨간색 지수는 파란색으로 나눈 파란색 일 수도 있습니다. $e$ 또는 오른쪽으로 1 초 이동

일반적으로 이것은 복잡한 지수에도 적용됩니다.

복잡한 고조파의 음모를 마음 속에 그려 볼 수 있습니까? $x(t)=e^{j2\pi t}$? 그렇다면 봄처럼 보입니다. 시간이 지남에 따라 복잡한 평면을 따라 회전합니다.

스프링을 회전시키는 것 (단위 원에서 복소수를 곱한 것)은 변환하는 것과 같습니다. 당신은 아마 당신의 인생에서이 시각 효과에 들어 왔을 것입니다

표준 나사의 원리이기도합니다.

이것을 선형시 불변 시스템에 입력한다고 가정하자. 당신은 출력을 얻을$y$ 이제이 스프링의 회전 된 버전을 입력하십시오. 선형성 때문에 출력은$y$같은 양만큼 회전합니다. 그러나 회전은 시간 변환과 같고 시스템은 시변이 없으므로 출력도 같아야합니다.$y$같은 양으로 시간 번역됩니다. 그래서,$y$입력과 동일한 속성을 충족해야합니다. 회전은 특정 시간 변환과 동일해야합니다. 이것은 출력이 원래 스프링의 배수 인 경우에만 발생합니다.

얼마나 많은 번역? 스프링과 마찬가지로 회전에 정비례합니다. 스프링의 루프가 빠를수록 (회전 속도가 빠를수록) 특정 회전에 대한 시간 변환이 줄어 듭니다. 나사 고리가 단단할수록 나사를 완전히 맞추기 위해 더 많은 라운드를해야합니다. 그리고 라운드의 절반이 완료되면 스크류가 절반이됩니다 ... 출력은 동일한 관계를 만족해야합니다. 출력 스프링$y$ 입력과 같은 주파수로 회전합니다.

마침내, 알림

$$\cos(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}$$

$$\sin(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2 j}$$

따라서 지수로 발생하는 것은 실제로 가장 일반적인 경우 코사인과 사인으로 일어날 필요가 없습니다. 그러나 시스템이 실제라면 다른 이야기입니다 ...

일반적으로,이 같은 추론에 의해, 임의의 지수는 선형 시간 불변 시스템의 "고유 함수"(출력은 입력에 비례 함)이다. 이러한 시스템에서 Z- 변환 및 라플라스 변환이 유용한 이유

입력이있는 시스템을 고려하십시오 $x(t)$ 출력 $y(t)$. Lars1의 답변에서 차용 된 표기법으로이 관계를 나타냅니다. $x(t) \to y(t)$. 시스템은 다음 특성을 만족하는 경우 선형 시간 불변 (LTI) 시스템이라고합니다.

H. 만약$x(t) \to y(t)$그런 다음 $\alpha x(t) \to \alpha y(t)$.

A. 만약 $x_1(t) \to y_1(t)$ 과 $x_2(t) \to y_2(t)$그런 다음 $x_1(t) + x_2(t) \to y_1(t) + y_2(t).$

T. 만약 $x(t) \to y(t)$그런 다음 $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$ 어떤 실수 든 $\tau$.

속성 H 와 A 는 속성 L 과 같습니다.

L. 만약 $x_1(t) \to y_1(t)$ 과 $x_2(t) \to y_2(t)$그런 다음 $\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \to \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)$.

---

시간 불변 시스템에 주기적으로 입력주기 출력 생성
한다고 가정을$x(t)$주기가있는 주기적인 신호입니다.$T$, 그건, $x(t-nT) = x(t)$ 모든 정수 $n$. 그런 다음 속성 T 에서 즉시 다음을 따릅니다.$y(t)$ 또한주기가있는주기적인 신호입니다 $T$. 따라서 표현할 수 있습니다 $y(t)$ 푸리에 시리즈로 :

$$y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)$$ 어디 $\omega = 2\pi/T$ 기본 주파수입니다.

---

이후 $\cos(\omega t)$ 과 $\sin(\omega t)$ 주기적인 신호입니다. 선형이든 아니든 모든시 불변 시스템에 대해

$$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t) + q_n \sin(n\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to \frac{r_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r_n \cos(n\omega t) + s_n \sin(n\omega t)\\ \end{align*}.$$ 사실, 대한 선형 시 불변 (LTI) 시스템, 모든$p_n, q_n, r_n,$ 과 $s_n$를 제외하고 0 이다$p_1, q_1, r_1, s_1$. 이것이 왜 그런지 알아보기 위해 LTI 시스템의 응답을 계산해 보겠습니다.$\cos(\omega t - \theta)$ 두 가지 방법으로 결과를 비교합니다.

이후 $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\theta)\cos(\omega t) + \sin(\theta)\sin(\omega t)$, 우리는 속성 L 과 위의 방정식 에서 얻습니다.

$$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0\cos(\theta) + q_0\sin(\theta)}{2}\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(\theta) + r_n\sin(\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(\theta) + s_n\sin(\theta))\sin(n\omega t). \end{align*}$$ 반면에 $\cos(\omega t - \theta) = \cos(\omega (t-\theta/\omega))$ 지연된 버전입니다 $\cos(\omega t)$, 속성 T에서 우리는 그것을 얻습니다 $$\begin{align*} \cos(\omega t - \theta) &\to \frac{p_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} p_n \cos(n\omega t -n\theta) + q_n \sin(n\omega t - n\theta)\\ &= \frac{p_0}{2} \\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta))\cos(n\omega t)\\ &\qquad + \sum_{n=1}^{\infty} (q_n\cos(n\theta) + p_n\sin(n\theta))\sin(n\omega t) \end{align*}.$$ 이 두 푸리에 시리즈의 값은 $\theta$우리는 선택합니다. 계수를 비교하면 $p_0/2$ 같을 수 없다 $(p_0\cos(\theta) + r_0\cos(\theta))/2$ 모든 $\theta$ 그렇지 않으면 $p_0 = r_0 = 0$. 마찬가지로$n > 1$, $p_n\cos(n\theta) - q_n\sin(n\theta)$ 같을 수 없다 $p_n \cos(\theta) + r_n\sin(\theta)$ 등을 위해 $\theta$ 그렇지 않으면 $p_n = q_n = r_n = s_n = 0$. 그러나$n=1$, $p_1\cos(\theta) - q_1\sin(\theta) = p_1\cos(\theta) + r_1\sin(\theta)$ 암시 $r_1 = -q_1$마찬가지로 $s_1 = p_1$. 다시 말해 LTI 시스템의 경우 $$\begin{align*} \cos(\omega t) &\to p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t)\\ \sin(\omega t) &\to -q_1 \cos(\omega t)+ p_1 \sin(\omega t)\\ \end{align*}.$$ 지금, $p_1 \cos(\omega t) + q_1\sin(\omega t) = B\cos(\omega t - \phi)$ 어디 $B = \sqrt{p_1^2+q_1^2}$ 과 $\phi = \arctan(q_1/p_1)$. 따라서 속성 T 와 H 는 $$A\cos(\omega t - \theta) \to AB\cos(\omega t - \phi - \theta).$$ 어떤주파수의 정현파$\omega$ rad / s는 다음과 같이 표현 될 수 있습니다 $A\cos(\omega t - \theta)$ 적절한 선택을 위해 $A$ 과 $\theta$위의 결과는 우리가 필요로하는 것입니다.

선형시 불변 시스템의 SISO 속성 : LTI 시스템에 대한 입력이 정현파 인 경우 출력은 주파수는 같지만 진폭과 위상이 다른 정현파입니다.

이것은 OP가 원했던 결과가 아닙니다. 그는 선형 시스템 (속성 H 및 A (동일하게 속성 L )을 보유하지만 반드시 속성 T 는 아니지만) SISO 속성을 가지고 있다는 증거를 원했습니다. 상기에 도시 된 바와 같이, 주기적 입력이 주기적 출력을 초래하는 더 약한 결과를 입증하기 위해서는 특성 T 가 유지되어야한다.

---

마지막으로, SISO 속성을 증명하기 위해 복소수 또는 컨볼 루션 정리 또는 푸리에 또는 LaPlace 변환, 임펄스, 고유 함수 등을 사용할 필요는 없습니다. 특성 L 및 * T를 따릅니다. 와 삼각 식별

$$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).$$

증명의 아이디어는 다음과 같습니다. 컨볼 루션으로 시스템의 출력을 설명 할 수 있다고 가정 해 봅시다.

$$y(t) = \int k_t(t-\tau) f(\tau) d\tau$$

기능 (일명 "커널") $k_t(t)$내가 작성한 여기에 있습니다 변경 으로$t$다릅니다. 그러나 우리는 일반적으로$k_t(t)$-시간이 지나도 변하지 않습니다. 이것을 "선형 시간 불변성"이라고합니다 ( Toeplitz 행렬 의 Wikipedia 페이지도 참조하십시오 ). 시스템이 선형시 불변 인 경우$k_t$에 대해 동일 어떤 $t$따라서 아래 첨자를 무시하고 작성합니다.

$$y(t) = \int k(t-\tau) f(\tau) d\tau$$

이제 말해 봅시다 $f(t)$ 정현파입니다 $f(t) = e^{i\omega t}$. 그래서 우리는

$$y(t) = \int k(t-\tau) e^{i\omega \tau} d\tau = \int k(\tau) e^{i\omega (t-\tau)} d\tau = e^{i\omega t} \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$$

마지막 방정식은 의존하지 않습니다.$t$! 결과적으로 정의하자$K(\omega) := \int k(\tau) e^{-i\omega \tau}d\tau$.

따라서 우리는

$$y(t) = K(\omega) e^{i\omega t}$$

다른 말로하면 $y(t)$같은 주파수에서 진동하는 정현파입력 하지만 복소수에 의해 가중되는$K(\omega)$ 에 대해 일정한 $t$ (따라서 입력과 관련하여 출력의 진폭과 위상을 이동할 수 있습니다).

편집 : 의견은이 답변이 꽤 느슨하다고 지적했습니다. 내 목표는 푸리에 변환의 다른 형태와 같은 세부 사항을 피하는 것이었지만, 푸리에 변환 과 라플라스 변환을 혼란스럽게 만들었 습니다 . 내가 이전에 푸리에 변환이라고했던 것은 푸리에 변환 만 $s$순전히 상상력이었습니다. 이 경로를 명확하게하면 너무 많은 표기법이 추가되어야하므로 이탤릭체로 강등합니다.

이제 라플라스 변환을 사용하여 라플라스 변환이 곱셈으로 진행되기 때문에

$$Y(s) = K(s) F(s)$$

이제 $f$ 정현파입니다 $f(t)=e^{i\omega t}$Laplace 변환은 델타 함수입니다. $\omega$. 그건, $F(s) = \delta_{w}(s)$. 따라서 출력의 라플라스 변환도 해당 주파수에서 델타 함수입니다.

$$Y(s) = K(s)\delta_\omega (s) = K(\omega) \delta_\omega(s)$$

이후 $K(\omega)$ 입력 주파수, 출력에 의존하는 복소수입니다. $y(t)$ 입력과 주파수는 동일하지만 진폭과 위상이 다른 정현파입니다.

우연히, 나는 당신이 Wikipedia의 시간 영역에서 작성된 동일한 아이디어를 찾을 수 있음을 알았습니다 . 더 높은 수준의 설명 (너무 수학적인 경우 무시할 수 있음)은 선형 시스템 이론이 컨볼 루션 연산을 통해 정의되며 푸리에 변환에 의해 대각선으로 나타납니다. 따라서 입력이 푸리에 변환 연산자의 고유 벡터 인 시스템은 입력의 스케일 된 버전 만 출력합니다.

입력 시스템이 있다고 가정 해보십시오. $x_1(t)$ 출력을 생성하는 $y_1(t) = {\cal G}(x_1(t))$, 그리고 입력 $x_2(t)$ 우리는 출력을 얻는다 $y_2(t) = {\cal G}(x_1(t))$. 다음과 같은 경우 시스템은 선형입니다.

$$a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \rightarrow y(t) = {\cal G}(a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t)) = a\cdot {\cal G}(x_1(t)) + b\cdot {\cal G}(x_2(t)) = a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$$

어디 $a$ 과 $b$(실제 또는 복잡한) 상수입니다. 위의 방정식이 충족되지 않으면 시스템은 비선형입니다. 이 방정식은 시간 및 주파수 영역에서 실제 및 복합 신호에 사용될 수 있습니다. 이것은 중첩 원칙이 유효해야한다는 것과 동일합니다. Sarwate는 주석에서 설명했듯이 시스템이 새로운 주파수를 생성하는 것을 막지 않습니다. 우리는 종종 시간 불일치를 간접적으로 가정하는 데 익숙 할 것입니다. 그 이유는 하나 이상의 외부 제어 신호를 적용하여 시변 시스템을 시변 시스템에 매핑하는 것이 종종 가능할 수있다.

선형성의 정의와 시간 불변 시스템의 추가 요구를 통해 선형성 요구 사항을 준수하면서 2 개 이상의 신호가 새로운 주파수 성분을 방해하고 생성 할 수 없음을 직접 확인할 수 있습니다. 중첩의 원리는 선형성 정의에서 직접 따릅니다.

또한 선형성 정의에서 선형 시간 불변 시스템에 대한 컨볼 루션 개념이 따릅니다. 비선형 시스템의 경우, 예를 들어 다차원 컨볼 루션 적분 인 Volterra 시리즈가 있습니다. 1 차원 컨볼 루션 적분은 Volterra 시리즈의 특별한 경우입니다. 이것은 선형 기술보다 훨씬 복잡합니다. 그러나 선형 시스템에 대한 컨볼 루션 적분을 기반으로 파생은 @sydeulissie가 보여주는 것을 따릅니다.

새로운 주파수가 생성되는 비선형 관계의 간단한 반대 예를 보여주기 위해 ${\cal G}: y(t) = x^2(t)$. 먼저 이것이 실제로 비선형임을 보여 드리겠습니다. 입력을 적용하면$x_1(t)$ 우리는 출력을 얻는다 $y_1(t) = x_1^2(t)$ 입력을 적용하면 $x_2(t)$ 우리는 출력을 얻는다 $y_2(t) = x_2^2(t)$. 출력$y(t)$ 그렇다면:

$$y(t) = \left\{ a\cdot x_1(t) + b\cdot x_2(t) \right\}^2 = a^2\cdot x_1^2(t) + b^2\cdot x_2^2(t) + 2\cdot a\cdot b \cdot x_1(t) \cdot x_2(t)$$

또는:

$$y(t) = a^2 \cdot y_1(t) + b^2 \cdot y_2(t) \pm 2\cdot a \cdot b \cdot \sqrt{y_1(t) \cdot y_2(t)} \neq a\cdot y_1(t) + b\cdot y_2(t)$$

우리는 이렇게 증명했다 $x^2$비선형이어야합니다 (거의 놀라 울 수는 없습니다). 단일 사인파 신호를 적용하면$x(t) = A\cdot \cos(2\pi f_0 t + \phi_0)$ 시스템에 ${\cal G}$ 출력이 있습니다 :

$$y(t) = x^2(t) = A^2 \cdot \cos^2(2\pi f_0 t + \phi_0) = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cdot \cos(2\pi 2 f_0 t + 2\phi_0)$$

여기의 출력에는 DC 구성 요소와 주파수의 다른 구성 요소가 포함됩니다 $2f_0$. 비선형 함수$x^2$ 따라서 새로운 주파수 성분을 생성합니다.

결론적으로 선형 시스템은 입력에 존재하지 않는 주파수 성분을 생성 할 수 있음을 알 수 있습니다 (시스템이 시간 변형 인 경우). 시스템이 선형 시간 불변 인 경우 출력에 입력에없는 주파수 성분을 포함 할 수 없습니다.

가장 관련성이 높은 의견에 대해 @Sarwate에게 감사드립니다.

Dilip Sarwate가 지적한 바와 같이, LSIV (linear shift-invariant) 시스템 만이 SISO (sinusoid insinusoid out) 속성을 갖습니다.

귀하의 질문에 대한 짧은 대답은 복잡한 지수입니다 $e^{\jmath \omega t}$LSIV 시스템 의 고유 기능 입니다. 고유 함수의 정의에 따라 입력 값이 고유 함수 인 경우 (사인 / cos는 Euler의 공식에 따라 복소수로 표현 될 수 있음) 출력은 입력 값과 해당 고유 값 (복소수 일 수 있음)의 곱일뿐입니다. 여기서 위상 / 진폭의 변화가 시작됩니다.