선형 시스템이 정현파 충실도를 나타내는 이유는 무엇입니까?


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사인파 충실도에 대한 증거를 찾고 있습니다. DSP에서 우리는 선형 시스템에 대해 많은 것을 연구합니다. 선형 시스템은 균일하고 부가 적입니다. 신호가 사인파 또는 코스 파인 경우 출력이 위상 또는 진폭 만 변경한다는 것이 만족스러운 조건입니다. 왜? 사인파가 입력으로 제공 될 때 출력이 완전히 다른 출력이 될 수없는 이유는 무엇입니까?


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DSP에 오신 것을 환영합니다. 좋은 질문입니다!
Phonon

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이해가 불완전합니다. 선형 (균일 및 가산을 의미하는) 시스템은 입력 정현파가 동일한 주파수이지만 가능한 다른 진폭 및 위상의 정현파를 생성한다는 특성을 반드시 가질 필요는 없습니다. 시스템도 시간이 변하지 않는다는 추가 제한을 적용해야합니다 . 예를 들어x(t) 출력을 생성 x(t)cos(2π109t), 시스템은 균일하고 부가 적이며 따라서 선형이지만 SISO (sinusoid insinusoid out) 특성을 만족시키지 않습니다.
Dilip Sarwate

Dilip (또는 누군가)은 "그들은하지 않습니다."라고 대답해야합니다. 만 시 불변 선형 시스템은 않습니다.
hotpaw2

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참고로,이 질문을 표현하는 다른 방법은 "왜 선형시 불변 시스템의 지수 고유 함수 입니까?"입니다.
Jason R

답변:


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다른 답변에 대한 시각적으로 보완

선형적이고 시간이 변하지 않는 시스템에 대해 이야기하고 있습니다.

지수 함수에는 하나의 고유 한 속성이 있으며 실제로 정의 할 수 있습니다. 시간 변환을 수행하면 동일한 함수에 상수가 곱해집니다. 그래서

ett0=et0et

Mathematica 그래픽

빨간색 지수는 파란색으로 나눈 파란색 일 수도 있습니다. e 또는 오른쪽으로 1 초 이동

일반적으로 이것은 복잡한 지수에도 적용됩니다.

복잡한 고조파의 음모를 마음 속에 그려 볼 수 있습니까? x(t)=ej2πt? 그렇다면 봄처럼 보입니다. 시간이 지남에 따라 복잡한 평면을 따라 회전합니다.

Mathematica 그래픽

스프링을 회전시키는 것 (단위 원에서 복소수를 곱한 것)은 변환하는 것과 같습니다. 당신은 아마 당신의 인생에서이 시각 효과에 들어 왔을 것입니다

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

표준 나사의 원리이기도합니다.

이것을 선형시 불변 시스템에 입력한다고 가정하자. 당신은 출력을 얻을y 이제이 스프링의 회전 된 버전을 입력하십시오. 선형성 때문에 출력은y같은 양만큼 회전합니다. 그러나 회전은 시간 변환과 같고 시스템은 시변이 없으므로 출력도 같아야합니다.y같은 양으로 시간 번역됩니다. 그래서,y입력과 동일한 속성을 충족해야합니다. 회전은 특정 시간 변환과 동일해야합니다. 이것은 출력이 원래 스프링의 배수 인 경우에만 발생합니다.

얼마나 많은 번역? 스프링과 마찬가지로 회전에 정비례합니다. 스프링의 루프가 빠를수록 (회전 속도가 빠를수록) 특정 회전에 대한 시간 변환이 줄어 듭니다. 나사 고리가 단단할수록 나사를 완전히 맞추기 위해 더 많은 라운드를해야합니다. 그리고 라운드의 절반이 완료되면 스크류가 절반이됩니다 ... 출력은 동일한 관계를 만족해야합니다. 출력 스프링y 입력과 같은 주파수로 회전합니다.

마침내, 알림

cos(t)=ejt+ejt2

sin(t)=ejtejt2j

따라서 지수로 발생하는 것은 실제로 가장 일반적인 경우 코사인과 사인으로 일어날 필요가 없습니다. 그러나 시스템이 실제라면 다른 이야기입니다 ...

일반적으로,이 같은 추론에 의해, 임의의 지수는 선형 시간 불변 시스템의 "고유 함수"(출력은 입력에 비례 함)이다. 이러한 시스템에서 Z- 변환 및 라플라스 변환이 유용한 이유


애니메이션은 어디서 / 어디서 얻었습니까?
Spacey

@Mohammad는 Archimedes 나사의 위키피디아 페이지에서 가져 왔습니다
Rojo

그 코르크 마개를 어디서 얻었습니까? :) math.stackexchange.com/q/144268/2206
endolith

@endolith 아 방금 Mathematica에서 해냈습니다. 당신은 더 좋다;)
Rojo

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입력이있는 시스템을 고려하십시오 x(t) 출력 y(t). Lars1의 답변에서 차용 된 표기법으로이 관계를 나타냅니다. x(t)y(t). 시스템은 다음 특성을 만족하는 경우 선형 시간 불변 (LTI) 시스템이라고합니다.

H. 만약x(t)y(t)그런 다음 αx(t)αy(t).

A. 만약 x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)그런 다음 x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t).

T. 만약 x(t)y(t)그런 다음 x(tτ)y(tτ) 어떤 실수 든 τ.

속성 HA 는 속성 L 과 같습니다.

L. 만약 x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)그런 다음 αx1(t)+βx2(t)αy1(t)+βy2(t).


시간 불변 시스템에 주기적으로 입력주기 출력 생성
한다고 가정을x(t)주기가있는 주기적인 신호입니다.T, 그건, x(tnT)=x(t) 모든 정수 n. 그런 다음 속성 T 에서 즉시 다음을 따릅니다.y(t) 또한주기가있는주기적인 신호입니다 T. 따라서 표현할 수 있습니다 y(t) 푸리에 시리즈로 :

y(t)=a02+n=1ancos(nωt)+bnsin(nωt)
어디 ω=2π/T 기본 주파수입니다.

이후 cos(ωt)sin(ωt) 주기적인 신호입니다. 선형이든 아니든 모든시 불변 시스템에 대해

cos(ωt)p02+n=1pncos(nωt)+qnsin(nωt)sin(ωt)r02+n=1rncos(nωt)+snsin(nωt).
사실, 대한 선형 시 불변 (LTI) 시스템, 모든pn,qn,rn,sn제외하고 0 이다p1,q1,r1,s1. 이것이 왜 그런지 알아보기 위해 LTI 시스템의 응답을 계산해 보겠습니다.cos(ωtθ) 두 가지 방법으로 결과를 비교합니다.

이후 cos(ωtθ)=cos(θ)cos(ωt)+sin(θ)sin(ωt), 우리는 속성 L 과 위의 방정식 에서 얻습니다.

cos(ωtθ)p0cos(θ)+q0sin(θ)2+n=1(pncos(θ)+rnsin(θ))cos(nωt)+n=1(qncos(θ)+snsin(θ))sin(nωt).
반면에 cos(ωtθ)=cos(ω(tθ/ω)) 지연된 버전입니다 cos(ωt), 속성 T에서 우리는 그것을 얻습니다
cos(ωtθ)p02+n=1pncos(nωtnθ)+qnsin(nωtnθ)=p02+n=1(pncos(nθ)qnsin(nθ))cos(nωt)+n=1(qncos(nθ)+pnsin(nθ))sin(nωt).
이 두 푸리에 시리즈의 값은 θ우리는 선택합니다. 계수를 비교하면 p0/2 같을 수 없다 (p0cos(θ)+r0cos(θ))/2 모든 θ 그렇지 않으면 p0=r0=0. 마찬가지로n>1, pncos(nθ)qnsin(nθ) 같을 수 없다 pncos(θ)+rnsin(θ) 등을 위해 θ 그렇지 않으면 pn=qn=rn=sn=0. 그러나n=1, p1cos(θ)q1sin(θ)=p1cos(θ)+r1sin(θ) 암시 r1=q1마찬가지로 s1=p1. 다시 말해 LTI 시스템의 경우
cos(ωt)p1cos(ωt)+q1sin(ωt)sin(ωt)q1cos(ωt)+p1sin(ωt).
지금, p1cos(ωt)+q1sin(ωt)=Bcos(ωtϕ) 어디 B=p12+q12ϕ=arctan(q1/p1). 따라서 속성 TH
Acos(ωtθ)ABcos(ωtϕθ).
어떤주파수의 정현파ω rad / s는 다음과 같이 표현 될 수 있습니다 Acos(ωtθ) 적절한 선택을 위해 Aθ위의 결과는 우리가 필요로하는 것입니다.

선형시 불변 시스템의 SISO 속성 : LTI 시스템에 대한 입력이 정현파 인 경우 출력은 주파수는 같지만 진폭과 위상이 다른 정현파입니다.

이것은 OP가 원했던 결과가 아닙니다. 그는 선형 시스템 (속성 HA (동일하게 속성 L )을 보유하지만 반드시 속성 T 는 아니지만) SISO 속성을 가지고 있다는 증거를 원했습니다. 상기에 도시 된 바와 같이, 주기적 입력이 주기적 출력을 초래하는 더 약한 결과를 입증하기 위해서는 특성 T 가 유지되어야한다.


마지막으로, SISO 속성을 증명하기 위해 복소수 또는 컨볼 루션 정리 또는 푸리에 또는 LaPlace 변환, 임펄스, 고유 함수 등을 사용할 필요는 없습니다. 특성 L* T를 따릅니다. 와 삼각 식별

cos(αβ)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β).

만약에 x(t)주기적이지 않습니까 (비정기적인 주파수에서는 주기적이 아닐 수 있음)? 필요한 것T유한하다? 요구함으로써 일반성의 관점에서 무언가를 얻을 수 있을까x(t)관측 시간 간격에서 제곱 적분이 되는가?
Lars1

@ Lars1 LTI 시스템에 대한 입력이 주기적이지 않은 경우 경우 출력도 주기적이 아닙니다. 특정한 경우에x(t)=A1cos(ω1t)+\A2cos(ω2t) 어디 ω1/ω2비이성적이고 (따라서 입력이 주기적이 아닙니다) 속성 L에서 우리는
A1cos(ω1t)+\A2cos(ω2t)A1B1cos(ω1tϕ1)+\A2B2cos(ω2tϕ2)
어떤 출력도 주기적이 아닙니다. 따라서 문제가 없습니다.
Dilip Sarwate

@Sarwate : 내가 말하고자하는 것은 미안합니다. 예를 들어 궁금x(t)=cos(πt)+cos(2t)위의 경우에 처리됩니다. 한정된 관측 시간 간격이 필요한 경우tT=[0;T]모든 정사각 적분 신호는 관측 간격에서 푸리에 시리즈로 기록 될 수 있습니다. 유한T이것은 가장 일반적인 접근 방법 일 것입니다. 귀하의 파생물은 여전히 ​​알 수 있습니다. 분명히 푸리에 시리즈 접근법은 외부의 주기성을 강제합니다.T 신호 만 신경 쓰면 t\ont이것은 실제로 중요하지 않습니다.
Lars1

@ Lars1 강제적 인 외부주기에 대한 귀하의 의견에 동의하지 않습니다 [0,T]문제가되지 않는다. 입력하면x(t) 출력을 생성 y(t)LTI 시스템에서 SISO 속성을 푸리에 계열에 적용해도 제공y(t) 제한 [0,T]. 대신,주기적인 반응의 한 기간이 얻어진다y^(t) 주기적인 신호 x^(t) 매번 순간마다 t, <t<,
x^(t)=x(tmodT).
다시 말해 T의 두 번째 세그먼트 x(t) 주기적으로 반복 T시간 축을 따라).
Dilip Sarwate

예를 들어 비선형 RF 시스템에서 종종 입력에서 출력으로 고유 한 주파수 매핑을 보장하기 위해 비정형 정현파의 합을 선택합니다. 이로 인해 비주기적인 신호가 발생하며, 왜 당신이 나에게 가장 실질적으로 관련된 신호를 배제하는 것보다 주기성을 초과해야하는지 궁금했습니다. 정사각형 통합 가능x(t)y(τ)유한 관찰 간격으로 푸리에 시리즈로 쓸 수 있습니다. 나는 그것을 주장하지 않았다.t 같은 간격으로 정의되었습니다 xy BTW와 y시간 오프셋 버전 일 수 있습니다. 더 혼란을 피하기 위해 여기서 멈출 것입니다.
Lars1

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증명의 아이디어는 다음과 같습니다. 컨볼 루션으로 시스템의 출력을 설명 할 수 있다고 가정 해 봅시다.

y(t)=kt(tτ)f(τ)dτ

기능 (일명 "커널") kt(t)내가 작성한 여기에 있습니다 변경 으로t다릅니다. 그러나 우리는 일반적으로kt(t)-시간이 지나도 변하지 않습니다. 이것을 "선형 시간 불변성"이라고합니다 ( Toeplitz 행렬 의 Wikipedia 페이지도 참조하십시오 ). 시스템이 선형시 불변 인 경우kt에 대해 동일 어떤 t따라서 아래 첨자를 무시하고 작성합니다.

y(t)=k(tτ)f(τ)dτ

이제 말해 봅시다 f(t) 정현파입니다 f(t)=eiωt. 그래서 우리는

y(t)=k(tτ)eiωτdτ=k(τ)eiω(tτ)dτ=eiωtk(τ)eiωτdτ

마지막 방정식은 의존하지 않습니다.t! 결과적으로 정의하자K(ω):=k(τ)eiωτdτ.

따라서 우리는

y(t)=K(ω)eiωt

다른 말로하면 y(t)같은 주파수에서 진동하는 정현파입력 하지만 복소수에 의해 가중되는K(ω) 에 대해 일정한 t (따라서 입력과 관련하여 출력의 진폭과 위상을 이동할 수 있습니다).

편집 : 의견은이 답변이 꽤 느슨하다고 지적했습니다. 내 목표는 푸리에 변환의 다른 형태와 같은 세부 사항을 피하는 것이었지만, 푸리에 변환 과 라플라스 변환을 혼란스럽게 만들었 습니다 . 내가 이전에 푸리에 변환이라고했던 것은 푸리에 변환 만 s순전히 상상력이었습니다. 이 경로를 명확하게하면 너무 많은 표기법이 추가되어야하므로 이탤릭체로 강등합니다.

이제 라플라스 변환을 사용하여 라플라스 변환이 곱셈으로 진행되기 때문에

Y(s)=K(s)F(s)

이제 f 정현파입니다 f(t)=eiωtLaplace 변환은 델타 함수입니다. ω. 그건, F(s)=δw(s). 따라서 출력의 라플라스 변환도 해당 주파수에서 델타 함수입니다.

Y(s)=K(s)δω(s)=K(ω)δω(s)

이후 K(ω) 입력 주파수, 출력에 의존하는 복소수입니다. y(t) 입력과 주파수는 동일하지만 진폭과 위상이 다른 정현파입니다.

우연히, 나는 당신이 Wikipedia의 시간 영역에서 작성된 동일한 아이디어를 찾을 수 있음을 알았습니다 . 더 높은 수준의 설명 (너무 수학적인 경우 무시할 수 있음)은 선형 시스템 이론이 컨볼 루션 연산을 통해 정의되며 푸리에 변환에 의해 대각선으로 나타납니다. 따라서 입력이 푸리에 변환 연산자의 고유 벡터 인 시스템은 입력의 스케일 된 버전 만 출력합니다.


-1 무엇입니까 s 그리고 그것은 어떻게 관련이 있습니까? ω? 그리고 당신은 무엇을 의미하는지 설명 할 수 있습니까δω(s)? 당신의 방정식Y(s)=K(s)δωs)넌센스입니다.
Dilip Sarwate

@DilipSarwate 푸리에 표기법 대신 Laplace 변환 표기법을 사용하고 있다고 생각합니다.
Jim Clay

@sydeulissie 문제는 K (w)가 "일부 복소수"라고 주장하지만, 왜 각 주파수에서 이것이 단지 복소수인지는 말하지 않았습니다. 이것이 증거의 핵심입니다.
Jim Clay

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이것은 정확한 개요가 있지만 세부 사항에는 많은 문제가 있습니다. 다운 보트는 아니지만 수정해야합니다.
Phonon

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입력 시스템이 있다고 가정 해보십시오. x1(t) 출력을 생성하는 y1(t)=G(x1(t)), 그리고 입력 x2(t) 우리는 출력을 얻는다 y2(t)=G(x1(t)). 다음과 같은 경우 시스템은 선형입니다.

ax1(t)+bx2(t)y(t)=G(ax1(t)+bx2(t))=aG(x1(t))+bG(x2(t))=ay1(t)+by2(t)

어디 ab(실제 또는 복잡한) 상수입니다. 위의 방정식이 충족되지 않으면 시스템은 비선형입니다. 이 방정식은 시간 및 주파수 영역에서 실제 및 복합 신호에 사용될 수 있습니다. 이것은 중첩 원칙이 유효해야한다는 것과 동일합니다. Sarwate는 주석에서 설명했듯이 시스템이 새로운 주파수를 생성하는 것을 막지 않습니다. 우리는 종종 시간 불일치를 간접적으로 가정하는 데 익숙 할 것입니다. 그 이유는 하나 이상의 외부 제어 신호를 적용하여 시변 시스템을 시변 시스템에 매핑하는 것이 종종 가능할 수있다.

선형성의 정의와 시간 불변 시스템의 추가 요구를 통해 선형성 요구 사항을 준수하면서 2 개 이상의 신호가 새로운 주파수 성분을 방해하고 생성 할 수 없음을 직접 확인할 수 있습니다. 중첩의 원리는 선형성 정의에서 직접 따릅니다.

또한 선형성 정의에서 선형 시간 불변 시스템에 대한 컨볼 루션 개념이 따릅니다. 비선형 시스템의 경우, 예를 들어 다차원 컨볼 루션 적분 인 Volterra 시리즈가 있습니다. 1 차원 컨볼 루션 적분은 Volterra 시리즈의 특별한 경우입니다. 이것은 선형 기술보다 훨씬 복잡합니다. 그러나 선형 시스템에 대한 컨볼 루션 적분을 기반으로 파생은 @sydeulissie가 보여주는 것을 따릅니다.

새로운 주파수가 생성되는 비선형 관계의 간단한 반대 예를 보여주기 위해 G:y(t)=x2(t). 먼저 이것이 실제로 비선형임을 보여 드리겠습니다. 입력을 적용하면x1(t) 우리는 출력을 얻는다 y1(t)=x12(t) 입력을 적용하면 x2(t) 우리는 출력을 얻는다 y2(t)=x22(t). 출력y(t) 그렇다면:

y(t)={ax1(t)+bx2(t)}2=a2x12(t)+b2x22(t)+2abx1(t)x2(t)

또는:

y(t)=a2y1(t)+b2y2(t)±2aby1(t)y2(t)ay1(t)+by2(t)

우리는 이렇게 증명했다 x2비선형이어야합니다 (거의 놀라 울 수는 없습니다). 단일 사인파 신호를 적용하면x(t)=Acos(2πf0t+ϕ0) 시스템에 G 출력이 있습니다 :

y(t)=x2(t)=A2cos2(2πf0t+ϕ0)=A22+A22cos(2π2f0t+2ϕ0)

여기의 출력에는 DC 구성 요소와 주파수의 다른 구성 요소가 포함됩니다 2f0. 비선형 함수x2 따라서 새로운 주파수 성분을 생성합니다.

결론적으로 선형 시스템은 입력에 존재하지 않는 주파수 성분을 생성 할 수 있음을 알 수 있습니다 (시스템이 시간 변형 인 경우). 시스템이 선형 시간 불변 인 경우 출력에 입력에없는 주파수 성분을 포함 할 수 없습니다.

가장 관련성이 높은 의견에 대해 @Sarwate에게 감사드립니다.


네 말이 맞아 나는 시간 불변 시스템을 언급한다는 것을 잊어 버렸습니다. 귀하가 제공하는 예는 귀하의 예가 보유하지 않는 시변 시스템입니다. 일반적으로 같은 신호cos(t)신호가 외부 포트에인가되면 선형성이 충족되지 않습니다. 위의 답변에서 시간이 변하지 않는 부분을 언급했습니다.
Lars1

@DilipSarwate 그렇다면 LTI 시스템 만 해당 속성을 가지고 있습니까?
Phonon

방금 안전을 위해 몇 권의 책을 확인했습니다. 실제로 세부 사항에는 약간의 차이가있는 것 같습니다. 2007 년 회로 시스템에 관한 Yang and Lee의 책에서 한 정의는 다음과 같이 말했다. 개별 입력 ". 그런 점에서 Sarwate의 예는 선형이지만 시간은 변하지 않습니다. 다른 심판은 덜 정확합니다. @Sarwate에게 감사합니다.
Lars1

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인쇄상의 오류가 수정 된 Lars1에 의해 언급 된 주석 : 출력을 생성하는 시스템 고려x(t)cos(t) 입력에서 x(t). 그때,ax1(t)+bx2(t) 출력을 생성
(ax1(t)+bx2(t))cos(t)=ax1(t)cos(t)+bx2(t)cos(t)
따라서 시스템은 선형이지만 청구 된 속성이 없습니다.
Dilip Sarwate

@Sarwate 출력 x (t) cos (t) 시간을 생성하는 시스템은 어떻게 다양합니까? 저는 DSP의 초보자입니다
Hobyist

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Dilip Sarwate가 지적한 바와 같이, LSIV (linear shift-invariant) 시스템 만이 SISO (sinusoid insinusoid out) 속성을 갖습니다.

귀하의 질문에 대한 짧은 대답은 복잡한 지수입니다 eȷωtLSIV 시스템 의 고유 기능 입니다. 고유 함수의 정의에 따라 입력 값이 고유 함수 인 경우 (사인 / cos는 Euler의 공식에 따라 복소수로 표현 될 수 있음) 출력은 입력 값과 해당 고유 값 (복소수 일 수 있음)의 곱일뿐입니다. 여기서 위상 / 진폭의 변화가 시작됩니다.

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