FFT의 실제 부분이 이미지를 회전 + 원본으로 변환하는 이유는 무엇입니까?

이 이미지를 읽었습니다.

FFT (2D)를 찍은 다음 Inverse FFT를 사용하여 이미지를 정확하게 다시 얻습니다. 참조 용 코드가 제공됩니다.

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

하지만 푸리에를 바꾸고 진짜 부분 만 취하면

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

다음과 같은 이미지를 얻습니다 ( 크기 변경은 관련이 없으며 Matlab 그림 처리기에서 저장했기 때문에 ).

누군가 나에게 그 배후의 이론 (수학)을 설명 할 수 있습니까? 감사

image-processing fft fourier-transform

— 실패한 과학자
소스

답변:

이미지가 제공되었다고 가정 해 봅시다 . 그런 다음 푸리에 변환은 $I(x,y)$

{나는}^{에프} (ω_{엑스}, ω_{와이}) = \int_{엑스} \int_{와이} 나는 (엑스, 와이) {이자형}^{제이 ω_{엑스} 엑스} {이자형}^{제이 ω_{와이} 와이} 디 엑스 디 와이

$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$

이제 실제 부분을 수행하고 그 반대를 수행하십시오.

\begin{aligned} {나는}_{미디엄} (α, β) & = \int_{ω_{엑스}} \int_{ω_{와이}} ℜ {{나는}^{에프} (ω_{엑스}, ω_{와이})} {이자형}^{제이 ω_{엑스} α} {이자형}^{제이 ω_{와이} β} 디 ω_{엑스} 디 ω_{와이} \\ = \int_{ω_{엑스}} \int_{ω_{와이}} ℜ {\int_{엑스} \int_{와이} 나는 (엑스, 와이) {이자형}^{제이 ω_{엑스} 엑스} {이자형}^{제이 ω_{와이} 와이} 디 엑스 디 와이} {이자형}^{제이 ω_{엑스} α} {이자형}^{제이 ω_{와이} β} 디 ω_{엑스} 디 ω_{와이} \\ = \int_{엑스} \int_{와이} 나는 (엑스, 와이) \int_{ω_{엑스}} \int_{ω_{와이}} ℜ {{이자형}^{제이 ω_{엑스} 엑스} {이자형}^{제이 ω_{와이} 와이}} {이자형}^{제이 ω_{엑스} α} {이자형}^{제이 ω_{와이} β} 디 ω_{엑스} 디 ω_{와이} 디 엑스 디 와이 \end{aligned}

$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$

사용자는 명확 내측 적분 차원 푸리에 변환 처리라고 볼 수있다 이고

코사인 (ω_{엑스} 엑스) 코사인 (ω_{와이} 와이) + 죄 (ω_{엑스} 엑스) 죄 (ω_{와이} 와이)

$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$

\frac{1}{2} [δ (엑스 - α) δ (와이 - β) + δ (엑스 + α) δ (와이 + β)]

$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$

결과로 대입 산출 $I_m$

{나는}_{미디엄} (엑스, 와이) = \frac{1}{2} [나는 (엑스, 와이) + 나는 (- 엑스, - 와이)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$

물론 당신의 경우 이지만, 이산 푸리에 변환은 신호가 주기적 이라고 가정 하고 여기서 은 이미지의 크기입니다. 왜 그 결과를 얻었는지 알 수 있습니다. $x,y>0$ $N$

{나는}_{미디엄} (엑스, 와이) = \frac{1}{2} [나는 (엑스, 와이) + 나는 (엔 - 엑스, 미디엄 - 와이)]

$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$

N, M

$N,M$

— ThP
소스

좋은 대답입니다! +1

— Peter K.

I think you can see now why got that result.예. 그러나이 질문이 HNQ 목록에 도달했기 때문에 수학이 적은 경사 사이트에서 오는 사람들을위한 마지막 단계를 추가하는 것이 좋습니다.

— 돛대

제공된 결과 THP도 매우 간단한 용어로 언급 될 수있다 : 만약 값 찾을 경우는 순전히 실제 그 (역) 푸리에 에르 미트 대칭을 갖 변환되는 데이터가 설정되어 있다면, 위치 , 다음을 원점에 대한 점 반영 위치 에서 복소수 공액 값 를 찾을 수 있습니다. 여기서의 원점은 푸리에 공간의 중심이됩니다. 물론 DC 구성 요소가 FFT 구현의 중심에 있지 않은 경우에는이를 재구성 할 수 있습니다. 그리고 이것은 당신이 당신의 이미지에서 볼 수있는 것입니다 : 포인트 반영 버전은 실제 이미지를 오버레이합니다-한 공간을 실제로 가치있게 만들기 때문입니다. $z$ $(x,y)$ $z^*$ $(-x,-y)$

이 특성은 실제로 일부 경우 자기 공명 영상 (MRI)을 가속화하는 데 사용됩니다. MRI는 푸리에 공간에서 직접 데이터를 획득합니다. 이상적인 MR 이미지는 실제 값으로 만 설명 할 수 있기 때문에 (모든 여기 자화 벡터는 위상 0을 가짐) 데이터 공간의 절반 만 획득하면되므로 이미징 시간의 절반이 절약됩니다. 물론, MR 이미지는 현실의 한계로 인해 완전히 실제 가치가있는 것은 아니지만 몇 가지 요령만으로도이 기술을 유리하게 사용할 수 있습니다.

— M529
소스

나는 ThP가 제공 한 동일한 답변을 진술하는 간단한 방법을 좋아했습니다. MRI에 대한 정보에 감사드립니다. 그것에 대해 몰랐습니다.

— 실패한 과학자