모든 합리성을지지하는 이산 rv 구성

이것이이 질문 의 구성주의 속편이다 .

구간 에서 모든 합리성을 지원하는 불연속 균일 랜덤 변수를 가질 수 없다면 다음으로 가장 좋은 것은 다음과 같습니다. $[0,1]$

확률 변수 구조체 이 지원 갖는다 , 그것은 다음 것을 일부 분포. 그리고 저의 장인은이 랜덤 변수가 우리가 얻고 자하는 것을 추상적으로 정의하여 생성되는 것이 아니라 기존 분포 로 구성 해야합니다 .$Q$$Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

그래서 나는 다음을 생각해 냈습니다.

하자 파라미터와 기하 분포 변종 II는 다음의 이산 랜덤 변수 일 , 즉$X$$0<p<1$

또한하자 동일한 매개 변수로 기하 분포 변종 I는 다음의 이산 확률 변수 일 수 , 즉,$Y$$p$

$X$ 와 $Y$ 는 독립적입니다. 이제 랜덤 변수를 정의하십시오

조건부 분포를 고려하십시오.

즉 이른바 "조건부 $Q$ 의 비율 $X$ 이상 $Y$ 조건부 $X$ 작거나 같 인 $Y$ ." 이 조건부 분포는 $\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$ .

"질문"은 다음과 같습니다. 누군가 조건부 확률 질량 함수를 제공 할 수 있습니까?

코멘트가 "폐쇄해야합니까?" 오늘날 닫힌 양식을 구성하는 것은 그렇게 분명하지 않으므로 다음과 같이하겠습니다. 우리는 [0,1] 에서 유리수를 입력 $[0,1]$하고 확률을 얻을 수있는 함수형을 찾고 있습니다 (일부 경우 물론 매개 변수 $p$ 의 지정된 값 ), pmf를 나타내는 그래프 로 이어집니다. 그런 다음 $p$ 를 변화시켜 그래프가 어떻게 변하는 지 확인하십시오.

그것이 도움이된다면, 지원의 한 가지 또는 두 가지 경계를 열어 둘 수는 있지만, 이러한 변형은 pmf 의 상한 및 / 또는 하한 값을 확실히 그래프로 나타낼 수있는 능력을 박탈합니다 . 또한 상한을 열면 컨디셔닝 이벤트 고려해야합니다 .$\{X<Y\}$

또는 pmf와 함께 사용되는 한이 지원이있는 다른 rv도 환영 합니다.

지오메트리 분포는 지지점에 0을 포함하지 않는 두 가지 변형을 쉽게 사용할 수 있기 때문에 사용했습니다 (따라서 0으로 나누는 것을 피할 수 있습니다). 분명히, 일부 잘림을 사용하여 다른 이산 rv를 사용할 수 있습니다.

나는 확실히이 질문에 현상금을 넣을 것이지만, 시스템은 이것을 즉시 허용하지 않습니다.

확률 질량 을 갖는 세트 를 지원 하는 이산 분포 를 고려하십시오.{ $F$$\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

이것은 쉽게 합산되어 (관련된 모든 계열은 기하학적 임) 실제로 분포임을 보여줍니다 (총 확률은 1입니다).

제로가 아닌 유리수를 들어 하게 최저 관점에서 표현 될 :이고, 과 .a / b = x b > 0 gcd ( a , b ) = $x$$a/b=x$$b\gt 0$$\gcd(a,b)=1$

G [ 0 , 1 ] ∩ $F$ 는 규칙을 통해 에서 불연속 분포 를 유도합니다.$G$$[0,1]\cap \mathbb{Q}$

(및 ). 모든 유리수 는 0이 아닌 확률을 갖습니다 ( 양의 확률로 값 중 포함해야하는 경우 과 같은 다른 숫자에서 일부 확률을 빼서 할당 ).$G(0)=0$0 1 $(0,1]$$0$$1$$0$

이 구성을 이해하려면 다음 묘사를보십시오 .$F$

p , q F p / q p q 0 1 G G G ( 1 ) 1 F ( 1 , 1 ) + F ( 2 , 2 ) + F ( 3 , 3 ) $F$ 는 양의 적분 좌표 로 모든 점 에서 확률 질량을 제공 합니다. 값은 원형 심볼의 컬러 영역으로 표시됩니다. 선은 플롯에 나타나는 가능한 모든 좌표 및 조합에 대해 경사 를 갖습니다 . 그들은 원형 기호와 같은 방식으로 색이 지정됩니다 : 경사에 따라. 따라서, (명확 내지 기울기 통해 받는)와 색에 대응 인수 의 및 값 각 라인에 누워 모든 원의 면적을 합산하여 얻어진다. 예를 들어,$p,q$$F$$p/q$$p$$q$$0$$1$$G$$G$$G(1)$ = 주어진 기울기 의 주 대각선을 따라 모든 (빨간색) 원의 면적을 합하여 구합니다. 입니다.$1$3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + ⋯ = 1 /$F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$$3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

이 그림은 을 제한 하여 달성 한 대한 근사값을 보여줍니다 . 에서 까지의 합리적인 숫자로 값을 표시합니다 . 최대 확률 질량은 입니다.q ≤ 100 $G$$q\le 100$$3044$(1) $1/100$$1$$\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

다음은 의 전체 CDF입니다 (이미지의 해상도에 정확함). 방금 나열된 6 개의 숫자는 눈에 띄는 점프의 크기를 나타내지 만 CDF의 모든 부분은 예외없이 점프로 구성됩니다.$G$

의견을 정리하고 명확하게하기 위해 답변으로 게시하겠습니다. 그러나 내가하는 일은 문제를 다른 문제로 줄이는 것이므로 매우 만족스럽지 않을 것으로 기대합니다.

내 표기법 :

Q$Q$ 그의 지원하는 RV입니다 - 내 있다 되지 는 AS 같은 자신의 영업 구조 . 우리는 와 사용 하여이 를 정의 할 것 입니다. Q Q $\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$Q$$Q$ QY$\frac{X}{Y}$$Q$$Y$$f$

$Y$ 누구의 지원이 어떤 RV입니다 더 - 영업 이익에 의해 주어진 일하는 것이, 예를 들어.$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$$Y$

f : N$f$ 는 일대일 대응입니다. 이고 은 그 역수입니다. 우리는 이것이 존재한다는 것을 알고 있습니다.$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$f^{-1}$

이제 와 찾는 것으로 문제를 줄일 수 있다고 주장합니다 .$f$$f^{-1}$

그냥하자 하면 모든 작업이 완료된다. 의 PMF 는 입니다. Q Pr [ Q = q ] = Pr [ Y = f − 1$Q=f\left(Y\right)$$Q$$\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

편집하다:

다음은 일대일 대응이 아니더라도 (중복 때문에) 의 역할을하는 함수 g입니다 .$f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}