닫힌 간격으로 모든 합리적인 값을 취하는 이산 균일 랜덤 변수 (?)

방금 (지적) 공황 발작을 일으켰습니다.

닫힌 간격 에서 균일하게 따르는 연속 랜덤 변수 : 편안하게 친숙한 통계 개념. $U(a,b)$
확장 된 실수 (반 또는 전체)를 지원하는 연속적인 균일 한 rv : rv는 적절하지 않지만 부적절한 이전, 유용하고 적용 가능한 기본 베이지안 개념.
한정된 수의 값을 취하는 불연속 유니폼 : 지오 데식 돔을 던지자.

그러나 정수 범위와 함께 닫힌 간격에 포함 된 모든 합리적인 값을 도메인으로 갖는 함수는 어떻습니까 (원하는 경우 시작 )? 그리고 우리는 그것을 가능한 모든 값이 다른 모든 것과 같은 확률을 요구하는 확률 론적 프레임 워크에서 사용하고 싶습니까? $[0,1]$

가능한 값의 수는 셀 수없이 많은데 (많은 불연속 분포를 특징으로 함), 확률이 같길 원한다면 단일 값의 확률을 어떻게 표현합니까?

그러한 실체가 임의의 변수가 아니라고 말할 수 있습니까?

그렇지 않다면, 이것은 "부적절한 이전"의 또 다른 화신 (아마도 이미 잘 알려져 있음)입니까?

이 개체가 잘 정의 된 의미이지만 연속적인 균일 한 rv와 "특별"할 수 있습니까? 아니면 방금 추기경 죄를 저질렀습니까?

도메인이 닫힌 간격이라는 사실로 인해 벗어날 수는 없습니다. 경계가있는 것은 일반적으로 관리 할 수 있습니다.

질문은 내부 소용돌이를 나타 내기 위해 많이 있습니다. 나는 그들 각각에 대한 답변을 요구하지 않습니다.

통찰력이 생길 때마다 업데이트하겠습니다.

업데이트 : 현재의 질문은 여기서 구성 주의적 속편을 얻었 습니다.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

+1 여기에 좋은 질문이 있습니다. [0,1]으로 제한되지 않은 합리적 또는 균일하게 분포 된 다른 집합에 대한 균일 분포를 정의 할 수 없습니다. 나는 이것에 대해 작은 토론을 한 번 썼다. 그것을 파고 그것을 볼 수 있는지 볼 것이다. 그러나 아마도 당신이 가진 대답에 유용한 것을 추가하지 않을 것입니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b 감사합니다 Glen. 언급 한이 작은 토론을 게시하기를 바랍니다.

— Alecos Papadopoulos

반성 할 때, 아직 여기에서

— Glen_b-복지국 Monica

(일종) 에 균일 분포

Q \cap [0, 1]

$\mathbb{Q} \cap [0, 1]$

— Kodiologist

답변:

이 "무작위 변수"는 전체 실제 선 (두 번째 예)에서 플랫을 갖는 아이디어와 유사합니다.

이있을 수 있음을 나타 내기 위해 더 확률 변수 없음 되도록 모두 일정한 , 우리는 사용 의 -additive 속성 랜덤 변수 : 이산 형 사건의 셀 수있는 합집합은 확률 적으로 해당 사건의 영아의 합과 같은 확률을가집니다. 따라서 이면 확률 적으로 입니다. 만약 , 다음 . 그러나 값을 취하는 적절한 임의 변수 는 $X$ $P(X=q)=c$ $q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$ $c$ $\sigma$ $c=0$ $P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$ $c>0$ $P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$ $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ $P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$ 따라서 임의의 변수는 없습니다.

이미 알고 있듯이 여기서 중요한 점은 공간이 유한하게 많은 점으로 구성되어 있으면 사용 하고 합계에 문제가 없으며 공간에 셀 수없이 많은 점이 있으면 를 가질 수 있다는 것입니다 이고 -additivity는 계산 가능한 것들 에 대한 진술이기 때문에 공간을 통합 할 때 위반되지 않습니다 . 그러나 무수히 많은 세트에 균일 한 분포를 원할 때 문제가 발생합니다. $c>0$ $c=0$ $\sigma$

그러나 베이지안의 맥락에서, 물론 당신이 기꺼이 사용한다면 모든 대해 이라고 말할 수 있습니다 부적절한 선행. $P(X=q)\propto 1$ $q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

— P 샤넬
소스

고마워, 이것은 행사에 적합한 차가운 샤워처럼 보입니다.

— Alecos Papadopoulos

$z\in\mathbb{Q}$ $-z\in\mathbb{Q}$

$z +y =y+z$

$\mu$ $\mu(z + A) = \mu(A)$ $A\subset\mathbb{Q}$ $z\in\mathbb{Q}$

$\mu$ $\mu(\{z\})=0$ $z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$ $\mu$
$\mu$
$\mu$

업데이트 : 당신은 합리적에서 단위 간격 합리화에 이르기까지 합리화에서 생성 된 합리성에 대한 푸시 포워드 측정을 고려하여 해당 의미에서 균일 한 단위 간격 합리성에 대한 측정을 즉시 얻습니다. 각각 분수 부분에 합리적입니다.
따라서 유한 한 가산성에 대한 요구를 완화 한 후에는 두 경우 모두에서 이러한 측정 값을 얻을 수 있습니다.

— 마티아스 푸 흐스
소스

(+1) 감사합니다 Matthias, CV에 오신 것을 환영합니다. 답을 완전히 이해하는 데 시간이 다소 걸리지 만 매우 흥미로운 접근법입니다.

— Alecos Papadopoulos