계층 적 베이지안 모델에서 랜덤 변수의 교환 성이 중요한 이유는 무엇입니까?

계층 적 베이지안 모델링에 왜 랜덤 변수의 교환 성이 필수적인가?

교환 가능성은 계층 적 모델의 필수 기능이 아닙니다 (적어도 관찰 수준은 아님). 기본적으로 표준 문헌에서 "독립적이고 동일하게 분포 된"이라는 베이지안 유사체입니다. 이는 현재 상황에 대해 알고있는 것을 설명하는 방법입니다. 즉, "셔플 링"은 문제를 변경하지 않습니다. 내가 이것을 생각하고 싶은 한 가지 방법은 받았지만 의 가치를 알지 못한 경우를 고려하는 것입니다 . 그 배우는 경우 의 의심되는 특정 값으로 당신을 이끌 것 다른 사람보다 더 많은, 다음 순서는 교환하지 않습니다. 그것이 에 대해 아무것도 말하지 않으면$x_{j}=5$$j$$x_{j}=5$$j$$j$그런 다음 시퀀스를 교환 할 수 있습니다. exhcangeability는 "실제"가 아니라 "정보"에 있습니다. 그것은 당신이 아는 것에 달려 있습니다.

교환 성은 관측 된 변수의 관점에서 필수적인 것은 아니지만 교환 가능성이 없으면 어떤 모델에도 적합하지 않을 수 있습니다. 교환 할 수 없으면 기본적으로 관측 풀링에 대한 정당성이 없기 때문입니다. 따라서 내 생각에 모델 어딘가에 교환 성이 없다면 추론이 훨씬 약해질 것입니다. 예를 들어 대해 을 고려하십시오 . 경우 완전히 교체되어 다음이 방법 와 . 경우 조건부 교환 주어진다 그런 다음,이 방법$x_{i}\sim N(\mu_{i},\sigma_{i})$$i=1,\dots,N$$x_{i}$$\mu_{i}=\mu$$\sigma_{i}=\sigma$$x_{i}$$\mu_{i}$$\sigma_{i}=\sigma$. 주어지면 를 조건부로 교환 할 수 있다면 이는 합니다. 그러나이 두 "조건부 교환 가능"사례 중 하나 에서 문제에 도입 되는 추가 매개 변수 가 있기 때문에 추론의 질이 첫 번째에 비해 줄어든다는 점에 유의하십시오. 교환 할 수없는 경우 기본적으로 관련없는 문제가 있습니다.$x_{i}$$\sigma_{i}$$\mu_{i}=\mu$$N$$N$

기본적으로 교환 가능성이란 부분적으로 교환 가능한 모든 및 대해 추론 를 만들 수 있음을 의미합니다.$x_{i}\to \text{parameters}\to x_{j}$$i$$j$

"필수"가 너무 모호합니다. 그러나 기술을 억제하면 시퀀스 가 교환 가능 하면 확률 분포가 인 일부 관측되지 않은 매개 변수 가 주어지면 는 조건부로 독립적 입니다. 즉, 입니다. 는 일 변량 또는 유한 차원 일 필요는 없으며 혼합물 등으로 더 표현 될 수 있습니다.$X=\{X_i\}$$X_i$$\Theta$$\pi$$p(X) = \int p(X_i|\Theta)d\pi(\Theta)$$\Theta$

이러한 조건부 독립 관계를 통해 거의 확실하게 수행 할 수 없었던 모델을 맞출 수 있다는 점에서 교환 성은 필수적입니다.

그렇지 않습니다! 나는 여기 전문가가 아니지만 2 센트를 줄 것이다. 일반적으로 계층 적 모델이있는 경우

$y|\Theta_{1} \sim \text{N}(X\Theta_{1},\sigma^2)$

$\Theta_{1}|\Theta_{2} \sim\text{N}(W\Theta_{2},\sigma^2)$

조건부 독립성 가정, 즉 에 대한 , 은 교환 가능합니다. 두 번째 레벨을 교환 할 수없는 경우 다른 레벨을 교환 할 수있는 것보다 포함시킬 수 있습니다. 그러나 당신이 exchaganbelity를 가정 할 수없는 경우에도, 모델은 여전히 ​​첫 번째 수준의 데이터에 적합 할 수 있습니다.$\Theta_{2}$$\Theta_{1}$

마지막으로, 교환은 De Finetti의 표현 정리로 생각할 때만 중요합니다. 이전은 모델에 적합하도록 도와주는 정규화 도구라고 생각할 수도 있습니다. 이 경우 교환 가능성 가정은 모델이 데이터에 적합 할 때만 큼 좋습니다. 다시 말해, 베이지안 계층 모델을 데이터에 더 잘 맞추는 방법으로 생각한다면 교환 성은 필수적이지 않습니다.