의 2- 표본 CDF는 무엇입니까

나는 얻는 방법을 이해하려고 노력하고있다. $p$ 에 대한 -values 일방적 콜 모고 로프 - 스 미르 노프 테스트 등에 대한 CDFS를 찾기 위해 고군분투 $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ 과 $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ 2- 표본 경우. 아래는 CDF로 몇 곳에서 인용되었습니다. $D^{+}_{n}$ 1 샘플 경우 :

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

또한, whuber sez는이 단일 샘플 CDF의 약간 다른 공식이 있습니다 ( 여기에서 내 표기법과 일관성을 유지하기 위해 를 로 인용하고 있습니다). $x$ $t$

도널드 크 누스 는 확률 적분 변환을 사용하여 p. TAoCP Volume 2 57과 17을 연습한다 .

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{c \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

이는 H 과 같이 단일 표본 경우의 단측 가설에 적용됩니다. 여기서 는 경험적 CDF입니다. 의 와 일부 CDF이다. $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ $F(x)$ $x$ $F_{0}$

I는 생각 이 경우는의 값 하나의 샘플에서, 그 에서 가장 큰 정수 . (맞습니까?) $x$ $D^{+}_{n}$ $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ $n-nx$

그러나 두 개의 표본이있을 때 (또는 ) 의 CDF는 무엇 입니까? 예를 들어, H 및 의 경험적 CDF에 대해 ? 을 얻는 방법 ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— 알렉시스
소스

이 질문에 대한 답변을 찾고있는 사람을위한 포인터-위의 질문에 링크 된 Alexis의 이전 질문에 대한 내 대답에는 여러 관련 참조가있는 역사에 대한 토론이있는 여러 참조에 대한 링크가 있습니다. 해당 문서와 참조 목록을 확인하십시오.

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b 감사합니다! 저의 다른 질문에 대한 귀하의 탁월한 답변에 감사 드리며 인용 된 자료를 따랐지만, 에 대한 CDF에 대한 견인력이 없었 으며 의견을 거절하지 않고 새로운 쿼리를 열 것이라고 생각했습니다. . 이 작업에 도움이되는 추가 자료가 있으면 추가 참조를 환영합니다.

D^{+}

$D^{+}$

— Alexis

알렉시스 : 내 의견으로는 비판이 없었다. 새로운 질문을 열 겠다는 당신의 선택은 정확히 맞습니다 (제 생각에는). 방금 관련 참고 문헌 중 일부를 추적하여 사람들에게 약간의 적법한 내용을 저장하고 싶었습니다. 다른 질문에 대한 귀하의 링크를 따르는 것이 반드시 모든 사람에게 발생할 수는 없으며 내 링크에서 해당 링크를 수행 한 사람들에게는 해당되지 않을 수도 있다고 생각 대답에는 그들이 알고 싶어하는 몇 가지 언급이있었습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

좋아, 나는 이것에 찌를 것이다. 중요한 통찰력을 환영합니다.

페이지 기븐스와 Chakraborti (1992), 스, 1958 인용 (192)에, (정확한?) 작은 샘플로 시작 CDF를 양면 테스트를 위해 (내가 그들의 교환하고 하고 에 대한 표기 와 는 각각) : $m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

여기서 는 원점에서 )까지 의 경로 열거 ( 및 )를 통해 생성됩니다. 와 - 치환 그래프 통해 위한 의 -THE 값 X가 시킴으로써 행한다 및 Y 시킴으로써 행한다는 및 . 경로는 경계 내부에 머무르는 제약 조건을 준수해야합니다 (여기서 는 Kolmogorov-Smirnov 검정 통계량의 값임). $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ $n_{1}$ $n_{2}$ $\left(n_{1},n_{2}\right)$ $S_{m}(x)$ $F_{n_{1}}(x)$ $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ $x$

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

아래는 그림 3.2 에 의 예를 제공하며 12 개의 경로가 있습니다. $A(3,4)$

Gibbons and Chakraborti (1992) 비모수 통계적 추론 193 페이지의 그림 3.2.

Gibbons와 Chakaborti는 한 쪽 값이 동일한 그래픽 방법을 사용하여 얻어 지지만 대한 하한 만 사용하며 의 상단입니다 . $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

이러한 작은 샘플 접근법은 경로 열거 알고리즘 및 / 또는 재발 관계를 수반하며, 이는 의심의 여지없이 점근 적 계산을 바람직하게한다. Gibbons와 Chakraborti는 또한 및 가 무한대 접근함에 따라 제한 CDF에 주목합니다 . $n_{1}$ $n_{2}$ $D_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

그리고 그들은 다음과 같이 (또는 ) 의 제한 CDF를 제공합니다 . $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

때문에 와 엄격 비 음의 CDF은 위에 비 - 제로 값을 가질 수있다 : $D^{+}$ $D^{-}$ $[0,\infty)$

$$ D ^ {+} $ (또는 $ D ^ {-} $)의 CDF$

참고
기븐스, JD 및 Chakraborti, S. (1992). 비모수 통계적 추론 . Marcel Decker, Inc., 3 판, 개정판 및 확장판.

JL Hodges (1958). Smirnov 2- 표본 검정의 유의 확률. Arkiv 님이 matematik에 있습니다. 3 (5) : 469--486.

— 알렉시스
소스

실제 cdf는 어디에나 존재하지만 경우 cdf는 0이됩니다. 당신이 제공 한 기능적 형태는 에만 적용됩니다 (이것은 간단한 추론이 가능합니다. 무엇입니까?

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

x \geq 0

$x\geq 0$

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$

— Glen_b -Reinstate Monica