R을 사용하여 시간 의존적 공변량으로 생존 데이터를 생성하는 방법

시간 의존적 공변량을 포함하는 Cox 비례 위험 모델에서 생존 시간을 생성하고 싶습니다. 모델은

$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i + \alpha m_{i}(t))$

여기서 는 Binomial (1,0.5) 및 됩니다.$X_i$$m_{i}(t)=\beta_0 + \beta_1 X_{i} + \beta_2 X_{i} t$

실제 매개 변수 값은$\gamma = 1.5, \beta_0 = 0, \beta_1 = -1, \beta_2 = -1.5, h_0(t) = 1$

시간에 독립적 인 공변량 (즉, 다음과 같이 생성되었습니다.$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i)$

#For time independent case
# h_0(t) = 1
gamma <- -1
u <- runif(n=100,min=0,max=1)
Xi <- rbinom(n=100,size=1,prob=0.5)
T <- -log(u)/exp(gamma*Xi)

누구나 시변 공변량으로 생존 데이터를 생성하도록 도와 줄 수 있습니까?

R 코드에서 기준 위험에 대한 지수 분포 (일정한 위험)를 가정합니다. 따라서 귀하의 위험 기능은 다음과 같습니다.

$$h\left(t \mid X_i\right) = \begin{cases} \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i = 0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 t\right)\right)} & \text{if $X_i = 1$.} \end{cases}$$

그런 다음 누적 위험 함수를 얻기 위해 와 관련하여 이것을 통합 합니다.$t$

$$\begin{align} \Lambda\left(t\mid X_i\right) &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \int_0^t{\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 \tau\right)\right)} \,d\tau} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \\ &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right) & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$$

이것들은 우리에게 생존 함수를 제공합니다 :

$$\begin{align} S\left(t\right) &= \exp{\left(-\Lambda\left(t\right)\right)} \\ &= \begin{cases} \exp{\left(-t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)}\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(-\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right)\right)} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$$

그런 다음 및 을 샘플링 하여 를 대입 하고 적절한 수식 ( 기반 을 재 배열하여 를 시뮬레이션하여 생성 합니다. 이것은 R에서 코드를 작성할 수있는 간단한 대수 여야하지만 추가 도움이 필요하면 의견으로 알려주십시오.$X_i$$U\sim\mathrm{Uniform\left(0,1\right)}$$U$$S\left(t\right)$$X_i$$t$